Принцип суперпозиции сил электростатического взаимодействия. Электростатика. Основные понятия. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теория близкодействия. Потенциал электрического поля. Конденсат

8.7. Принцип суперпозиции для электростатических сил

Вернемся к обсуждению закона Ш. Кулона. При этом мы постоянно будем использовать его аналогию с законом всемирного тяготения – раз формулировки совпадают, то и следствия из них должны совпадать. Поэтому у нас есть возможность достаточно быстро повторить основные выводы.

Прежде всего, обратим внимание, что сила взаимодействия точечных тел прямо пропорциональна величине заряда. Это обстоятельство является математическим выражением принципа суперпозиции :

сила, действующая на точечный заряд q 0 со стороны системы зарядов q 1 , q 2 , …, q k равна сумме сил, действующих со стороны каждого из зарядов q 1 , q 2 , …, q k (рис. 148)

\(\vec F_{pe3} = \vec F_1 + \vec F_2 + \ldots + \vec F_k,\qquad(1)\)

Подчеркнем, что формула закона Ш. Кулона выражает справедливость принципа суперпозиции, который является обобщением экспериментальных фактов.

Принцип суперпозиции выражает независимость сил электростатических взаимодействий, взаимодействие с одним зарядом, никак не влияет на взаимодействие с остальными.

Закон Ш. Кулона для точечных тел и принцип суперпозиции позволяют, в принципе, вычислять силы взаимодействия между заряженными телами конечных размеров. Для этого необходимо мысленно разбить каждое из тел на малые участки, каждый из которых можно рассматривать как точечный заряд (рис. 149), затем вычислить двойную сумму сил взаимодействия между всеми парами точек.

Для использования этого метода расчета силы взаимодействия, необходимо знать распределение зарядов внутри каждого из взаимодействующих тел. В отличие от гравитационного взаимодействия, во многих случая (точнее, практически всегда) распределение зарядов на телах заранее не известно. Так одно заряженное тело существенно влияет на распределение зарядов на другом, поэтому расчет сил взаимодействия между заряженными телами является еще более сложной задачей, чем расчет силы гравитационного взаимодействия. Для подтверждения этого утверждения сошлемся на существование сил притяжения между заряженным и незаряженным телом.

Так сила электростатического взаимодействия между точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами, то сила взаимодействия между равномерно заряженными сферами равна силе взаимодействия между точечными зарядами, равными зарядам сфер, и расположенными в центрах этих сфер. Аналогичный вывод справедлив и для любых сферически симметричных распределений зарядов. Иными словами - сферически симметричные заряды можно собрать в одну точку - в центр, при этом силы электростатического взаимодействия не изменятся. И. Ньютон доказал это утверждения для гравитационных сил, совсем скоро мы докажем его для электростатических взаимодействий.

Одинаковая зависимость гравитационных и электростатических сил от расстояния позволяет сравнивать эти силы между собой. Для двух одинаковых точечных тел имеющих массы m и заряды q , отношение электрической к гравитационной силе выражается формулой

\(\frac {F_{el}}{F_{gr}} = \left(\frac{1}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} \right) \cdot \left(\frac{r^2}{G \cdot m^2} \right) = \frac{e^2}{4 \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot G \cdot m^2} \).

Так для двух протонов это отношение приблизительно равно 1 10 36 , а для более легких электронов даже 4 10 42 - весьма внушительные числа! Поэтому при описании взаимодействия заряженных частиц гравитационным взаимодействием пренебрегают. В наших экспериментах (со стаканчиками), гравитационные взаимодействия между ними также пренебрежимо малы, по сравнению с электрическими. Практически во всех случаях, где появляются электрические силы, гравитационные уходят на второй план. Громадность электрических сил, во многом, обуславливает их широкое применение в нашей жизни, и необходимость их изучения.

Опыты по притяжению и отталкиванию наэлектризованных тел позволяют предположить, что эл.заряды взаимодействуют. Причем взаимодействие зависит от расстояния (чем ближе – тем сильнее). Предположение – заряд передается через воздух. Опыт – заряженный электроскоп поместили под колокол, воздух откачали, а листочки электроскопа по-прежнему отталкивались. В результате исследований было установлено, что эл.заряды окружены эл.полем.

Электрическое поле (часть эл.магнитного) – особый вид материи, который создается эл.зарядами, неразрывно с ними связан и воздействует на заряды одинаково, независимо от того, двигаются они или покоятся в данной инерциальной системе отсчета.

Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами – электростатическое . Его характеристиками являются напряженность и потенциал .

Электрическое поле взаимодействует с зарядом. Энергия этого взаимодействия - потенциальная.

Потенциал электрического поля – скалярная величина, энергетическая характеристика, равная отношению потенциальной энергии пробного заряда к величине этого заряда.

Пробным называют тот заряд, который существенно не меняет поле, с которым взаимодействует (элементарный заряд –равный 1,6*10 -19 Кл).

Напряженность ( силовая характеристика)в данной точке электростатического поля - векторная физическая величина, равная отношению силы, действующей в данной точке поля, на точечный пробный заряд, к этому заряду. E = F /q. (E = F при q = 1). Ед. измерения 1 В/м = 1 Дж/(м*Кл) = 1Н/м или Н/кл

В каждой точке поля напряженность имеет определенное значение и зависит от координат. В случае переменных полей она зависит и от времени.

Направление вектора Е совпадает с на­правлением силы, действующей на «+» заряд. Если поле создается «-» зарядом, то вектор Е направлен к заряду и противонаправлен силе. Линии напряженности начинаются у «+» зарядов (или в бесконечности) и оканчиваются у «-» зарядов. По густоте линий можно судить о величине Е

Разные заряды одноименные заряды пластина

Картина будет более наглядной, если рисовать не векторы в отдельных точках, а непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности. Эти линии называются линиями напряженности или силовыми линиями электрического поля. За направление силовых линий принимается направление вектора Е.

Напряженность поля увеличивается по мере приближения к заряду, а силовые линии при этом сгущаются.

Линии напряженности электростатических полей не замкнуты . Отметим, что напряженность поля в диэлектрике меньше, чем в вакууме из-за явления поляризации и, следовательно, густота силовых линий в диэлектрике меньше. Отношение напряженности поля в вакууме к напряженности в данной среде называют диэлектрической проницаемостью вещества. E вак. /E.

Напряженность электростатического поля в металле равняется нулю, так как поле свободных зарядов, существующих в нем, через достаточно короткий промежуток времени уравновесит внешнее поле и ток в металле будет равен нулю. Поэтому силовые линии в металл не проникают.

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению

Электрическая сила (Кулоновская) – сила, с которой электрическое поле действует на внесенный в него электрический заряд независимо от того, двигается он или покоится в данной инерциальной системе отсчета.

Подносим заряженную «+» палочку к заряженной «-» гильзе. По мере приближения палочки угол отклонения гильзы будет увеличиваться. Следовательно, чем ближе расположены тела, тем сильнее действие поля.

Закон взаимодействия электрических зарядов (закон Кулона) – два точечных неподвижных заряда взаимодействуют в вакууме с силой, прямопропорциональной произведению их зарядов и обратнопропорциональной квадрату расстояния между ними, где - коэффициент пропорциональности, - заряды, - расстояние между ними.

Границы применимости закона Кулона –

1. Заряженные тела должны быть точечными. Если же размеры и расстояния соизмеримы, то необходимо мысленно «разбить» тело на такие малые объемы, чтобы каждый из них отвечал условию точечности. Суммирование сил, действующих между элементарными объемами заряженных тел, дает возможность определить электрическую силу.

2. Заряженные тела должны быть неподвижными, т.к. при движении заряженных тел проявляется действие магнитного поля, возникающего в результате этого движения.

Принцип суперпозиции

Если на тело действует несколько сил, то по законам механики Ньютона результирующая сила равна их геометрической сумме. В нашем случае – телом является электрический заряд. На электрические заряды действуют силы со стороны поля. Если при наложении в пространстве полей от нескольких зарядов эти поля не влияют друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей на заряд должна быть равна геометрической сумме сил со стороны каждого поля. Это означает, что напряженности полей складываются геометрически, так как напряженности прямо пропорциональны силам.

20 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Урок №1

Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса.

Одно из фундаментальных взаимодействий – взаимодействие между электрическими зарядами.

Свойства электрического заряда:

1. Существует в двух видах: положительный и отрицательный.

2. В электрически изолированной системе суммарный заряд сохраняется.

3. Величина заряда инвариантна по отношению к инерциальным системам отсчета.

4. Величина заряда диэлектрика: q = N . e , N – целое число, e = - 1.6 . 10 -19 Кл.

Закон Кулона.

Два точечных покоящихся заряда в вакууме взаимодействуют с силой , где r – расстояние между зарядами.

Сила направлена по прямой, соединяющей заряды, и является силой отталкивания, если заряды одноименные, и силой притяжения, если заряды разного знака.

– в системе СИ

– электрическая постоянная

Законом Кулона можно воспользоваться и в том случае, если один из зарядов или оба заряда не являются точечными, но их распределение обладает сферической симметрией. В этом случае r – расстояние между центрами зарядов.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через поле, которое создается зарядом в окружающем пространстве.

– напряженность поля, создаваемого зарядом q 1 в точке, определяемой радиус-вектором

Отвлекаясь от индексов 1 и 2, .

Таким образом, напряженность поля в некоторой точке – это сила, действующая на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

Принцип суперпозиции: напряженность электрического поля в данной точке определяется векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами в этой точке.

Если заряды распределены непрерывно, то

, где dq = t . dl , t – линейная плотность заряда, или

dq = s . dl , s – поверхностная плотность заряда, или

dq = r . dV , r – объемная плотность заряда.

Силу, действующую на произвольный заряд q, помещенный в точку поля, где напряженность Е , можно найти по формуле:

Силовыми линиями электрического поля называются воображаемые кривые, в каждой точке которых вектор Е направлен к ним по касательной. Величину поля Е договоримся определять густотой силовых линий, т.е. количеством силовых линий, пересекающих единичную площадку к ним перпендикулярную.

Потоком вектора Е через площадку dS называется:

Вектором площадки называется

где n – единичный вектор нормали к данной площадке. Если площадка замкнутая, то в качестве положительной нормали всегда выбирается внешняя.

Поток вектора Е через произвольную площадку S определяется:

Оказывается, что поток вектора Е через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на e 0 :

Данное утверждение называют теоремой Гаусса.

Теорема Гаусса в дифференциальном виде:

r – объемная плотность электрического заряда в той точке, где ищется .

Примеры решения задач

Задача №1

Тонкое полукольцо радиусом 10 см равномерно заряжено с линейной плотностью заряда 1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится точечный заряд 20 нКл. Найти силу взаимодействия точечного заряда и полукольца.

Решение

Поскольку заряженное полукольцо не является точечным зарядом, то его следует мысленно разбить на элементарные заряды dq = t . dl , где элемент дуги .

Сила взаимодействия dF между точечным зарядом q и элементарным зарядом кольца dq найдется по закону Кулона:

Результирующая сила F найдется векторной суммой всех d F , действующих на заряд q:

Из симметрии задачи можно понять, что результирующая сила F направлена вертикально вниз. Выберем в этом направлении ось y , тогда для величины силы F :

Задача №2

По тонкому кольцу радиуса 10 см равномерно распределен заряд 2 мкКл. Найти максимальную силу, действующую на точечный заряд 1 мкКл, находящийся на оси кольца.

Решение

Рассчитаем силу, действующую на заряд q 2 , по формуле

Где E – напряженность поля, создаваемого кольцом.

Вычислим по принципу суперпозиции. Мысленно разобьем кольцо на элементарные заряды dq , которые создают на оси кольца поле

Из симметрии задачи следует, что результирующий вектор E будет направлен по оси х, поэтому

1. Согласно современным представлениям, электрическое взаимодействие между телами осуществляется посредством электромагнитных полей. Свойство тела создавать в окружающем пространстве электромагнитное поле количественно характеризуется скалярной физической величиной называемой электрический заряд . Свойство силового поля одного заряженного тела действовать на другие заряженные тела характеризуется векторной физической величиной называемойнапряженность электрического поля . Основными законами, позволяющими описать электрическое взаимодействие неподвижных заряженных тел, являются закон Кулона и принцип суперпозиции. Для описания действия электрических сил вводят понятия точечного и пробного зарядов.

Точечными зарядами называются заряженные тела, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между телами (т.е. в области пространства, занимаемого такими заряженными телами электрическое поле однородно).

Пробными зарядами называются заряженные тела, внесение которых в электрические поля других тел не приводит к их искажению (т.е. величина заряда настолько мала, что не приводит к смещению зарядов на окружающих телах).

2. Закон Кулона определяет силы взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов и, расположенных на расстоянииr 12 друг от друга

.

Здесь - сила, действующая на первый заряд со стороны второго,- сила, действующая на второй заряд со стороны первого (эти силы удовлетворяют третьему закону Ньютона, т.е. являются силами действия и противодействия). Величины сил пропорциональны величинам зарядови и обратно пропорциональны- квадрату расстояния между ними. Силы всегда направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Они являются силами притяжения, если знаки зарядов противоположны и силами отталкивания, если знаки зарядов одинаковы (см. рис.1). Свойства сил взаимодействия точечных зарядов отражает векторная форма закона Кулона:

В системе СИ коэффициент к в законе Кулона с учетом единицы заряда принято представлять в виде:

Нм 2 /Кл 2

где -электрическая постоянная.

Упражнение 1 .

Покажите, как можно количественно сравнить электрические заряды двух тел.

Пусть q 1 и q 2 величины зарядов электрических тел, которые необходимо сравнить. Возьмем третье заряженное тело, заряд которого обозначим Q . И в точке на расстоянии r от него, которое велико по сравнению с размерами всех трех тел, поместим последовательно тела, заряды которых мы сравниваем. Измеряя силыи, с которыми сравниваемые заряды будут взаимодействовать последовательно с зарядом Q , на основании закона Кулона утверждаем, что ибудут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления, а отношение их величин
не зависит ни от расположения заряда Q ни от его величины. Поэтому отношение F 1 / F 2 служит мерой самих пробных зарядов, причем, если направления силисовпадают, алгебраические знаки зарядов совпадают.

3. Исследования взаимодействия заряженных тел выявили следующие фундаментальные свойства зарядов :

Электрический заряд существует в двух формах - он может быть положительным или отрицательным.

Электрический заряд подчиняется закону сохранения: полный электрический заряд системы тел остается неизменным, если заряженные тела не пересекают поверхность, ограничивающую эту систему. При этом неизменным остается только полный заряд, а не положительный и отрицательный в отдельности. Например, при рождении пары электрон – позитрон в системе возникают заряды, но полный заряд сохраняется.

Электрический заряд – величина релятивистки инвариантная: величина заряда любого тела не зависит от того, как это тело движется.

В природе существует минимальный по величине заряд. Его называют элементарным и обозначают e . Любой электрический заряд кратен элементарному заряду

(
)

То, что является естественной единицей измерения заряда, по историческим причинам не было использовано, и в системе СИ за единицу заряда была выбрана величина, равная 6,2418
и получившая название кулон. Поэтому для величины элементарного заряда получим:

Кл

Упражнение 2.

Найдите силу, с которой точечный заряд Q будет действовать на точечный заряд, если на точечный заряд, помещенный в ту же точку пространства он действует с силой.

Построив вектор из точки нахождения зарядав точку помещения заряда q 2 , запишем выражение для силы на основе закона Кулона
. Аналогично для заряда, помещенного в ту же самую точку,
и, сравнивая выражения для этих сил, получим
.

4. Векторная физическая величина, модуль которой численно равен силе, действующей на единичный положительный неподвижный пробный заряд, помещенный в некоторой точке наблюдения, а направление совпадает с направлением этой силы, называется напряженностью электрического поля в рассматриваемой точке и обозначается вектором,

Силу, действующую на любой точечный заряд q , покоящийся в поле, представим в векторном виде:

Упражнение 3:

Найдите напряженность электрического поля точечного заряда Q .

Решение:

Поместим вблизи заряда Q точечный заряд q , в положение, задаваемое вектором относительно заряда Q , как показано на рис.2. Силу, действующую на заряд q , запишем в векторной форме как:
.

Напряженность электрического поля точечного заряда в рассматриваемой точке равна
, откуда:

5. Сила, действующая на заряд q со стороны нескольких зарядов
равна векторной сумме сил:

или на языке напряженностей:
,

где -полеi -го заряда в точке нахождения зарядаq . Этот закон, называемыйпринципом суперпозиции , фактически утверждает, что сила взаимодействия двух точечных зарядов не зависит от наличия в их окрестности других заряженных тел.

6. Часто распределение зарядов на телах описывается непрерывным распределением электричества. Распределение электричества по объему пространства задается пространственной плотностью заряда
, по поверхности -поверхностной плотностью заряда
, вдоль линии –линейной плотностью заряда
:

dq = ρ dV , dq = σ dS , dq = λ dl .

7. Для графического изображения векторных полей используют силовые линии (линии напряженности) поля, которые проводятся по следующим правилам: касательная к силовой линии направлена вдоль векторав каждой точке; густота силовых линий пропорциональна напряженности в данной области пространства. Силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах, а в пустом пространстве непрерывны. Число линий начинающихся и заканчивающихся на зарядах пропорционально их абсолютной величине.

Вопросы

1.1 Три заряда расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника. В вершинах острых углов находятся заряды +q ,
, а в вершине прямого угла заряд +2 q (см. рис.3). Определить какой из представленных на рисунке векторов совпадает с направлением напряженности поля в середине гипотенузы.

Ответ:

Напряженности полей, создаваемые зарядами q , равны по величине и направлены в сторону отрицательного заряда. Если обозначить длину гипотенузы2 a , то каждая из этих напряженностей равна
и их сумма составляет
. Это же значение имеет и поле заряда +2 q , направленное вдоль луча проведенного из прямого угла в середину гипотенузы. Напряженность результирующего поля направлена параллельно катету в направлении 3.

1.2 Дана система N точечных зарядов. Какой физический смысл имеют выражения:

а)

б)

Ответ:

а) Вынесем q N из под знака суммирования
, тогда каждое слагаемое под знаком суммы представляет вектор напряженностиk -го заряда в точке нахожденияN -го. А вся сумма – результирующее поле (N -1 ) зарядов в этой точке{ N -1} . Выражение а) представится какq N { N -1} , т.е.равно силе, действующей на зарядq N со стороны остальных зарядов системы.

б) Каждое слагаемое суммы
представляет силу, действующую наi -ый

заряд со стороны k -го. Вся сумма б) равна результирующей силе действующей на всю систему зарядов и равна нулю, т.к. каждая пара зарядов взаимодействует друг с другом с силами, результирующая которых равна нулю.

1.3 В первоначально незаряженной системе в пространственно разделенных точках возникла пара зарядов q (см.рис.4). Выполняется ли при этом закон сохранения заряда:

а) если заряды возникли одновременно?

б) если заряды возникли в последовательные моменты времени?

Ответ:

а) Закон сохранения зарядов не выполняется, т.к. в малых областях, окружающих каждый заряд, произошло изменение заряда без переноса электричества через поверхность, ограничивающие эти области.

б) Закон сохранения заряда не выполняется, т.к. в период между возникновениями зарядов полный заряд замкнутой системы изменился без переноса электричества через поверхность, ограничивающую систему.