Многогранники из картона. Икосаэдр развертка для склеивания с припусками: как собрать бумажный икосаэдр

Здесь уже публиковались модели многогранников (http://master.forblabla.com/blog/45755567715/Mnogogranniki), но хочется добавить свои. Ссылка та же, на wenninger.narod.ru. У меня сначала появилась книга, потом, когда подключился к интернету, написал даже письмо автору и получил ответ, потом книга с письмом потерялись, но нашёл сайт и продолжил делать модели.

Если интересно, могу каждый сфотографировать отдельно.

Александр

Ну что ж, по просьбе трудящихся выкладываю фото всех многогранников. Названия я особо не помню, я их классифицирую по многогранному углу. В книге (Веннинджер. Модели многогранников) собраны как многогранники, так и их звёзчатые формы. Платоновы тела это 5 выпуклых правильных многогранников. У них грани одного типа (правильные треугольники, квадраты и пятиугольники) и все многогранные углы одинаковы. Архимед добавил ещё 13 выпуклых полуправильных многогранников (грани - разные многоугольники, но все углы по-прежнему одинаковы). А вот если брать не выпуклые многоугольники (в книге используются треугольники, квадраты, пятиугольники, восьмиугольники и десятиугольники), а их звёздчаные формы (пятиугольная, восьмиугольная и десятиугольная звезды), то получается масса новых многогранников. К тому же, грани могут соединяться также в виде звёзд, поэтому невыпуклые многогранники могут состоять, как из звёздчатых многоугольников, так и из выпуклых.

Наконец, аналогично тому, что продолжение линий превращает выпуклый многоугольник в звёздчатый, так и продолжение граней образует звёздчатые формы. Правда, известно только 4 правильных многогранников такого типа (все три звёздчатые формы додекаэдра и одна звёздчатая форма икосаэдра), у других либо грани - неправильные многоугольники, либо многогранник распадается на несколько отдельных многогранников.

Особую красоту дают формы, у которых грани видны с двух сторон, а также содержащие дыры, плюс те, части которых только касаются друг друга вершинами.

Конечно, у многогранников есть своя математика, но об этом потом.

Фото сопровождаются моделями многогранных углов. Это основание пирамиды, которая получится, если от вершины многогранника отрезать кусочек, как от торта. 3, 4, 5, 6, 8 и 10 обозначают выпуклые многоугольники, 5/2, 8/3 и 10/3 - пятиугольную, восьмиугольную и десятиугольную звезду (последовательность вершин делает соответственно 2, 3 и 3 оборота вокруг центра).

Поехали. Сначала треугольники. (в скобках - номера моделей из книги).

Бесконечное семейство призм.

Треугольная призма.

Черырёхугольная призма, гексаэдр, куб (3).

Пятиугольная призма и её звёздчатая форма.

Шестиугольная призма.

Тетраэдр (1).

Додекаэдр (5) и три его звёздчатые формы, которые являются правильными многогранниками: малый звёздчатый додекаэдр (20), большой додекаэдр (21) и большой звёздчатый додекаэдр (22):

Усечённый тетраэдр (6).

Усечённый октаэдр (7).

Усечённый гексаэдр (куб) (8).

Усечённый икосаэдр (9). Раньше так шили футбольные мячи.

Усечённый додекаэдр (10).

Ромбоусечённый кубооктаэдр (15).

Ромбоусечённый икосододекаэдр (16).

Квазиусечённый гексаэдр (92).

Квазиусечённый кубооктаэдр (93).

Большой квазиусечённый икосододекаэдр (был. Увы, изнутри был непрочным и однажды сломался). (108)

Переходим к многогранникам, у которых в угле сходится 4 грани.

Сначала вершинная фигура в виде квадрата.

Бесконечное семейство антипризм.

Треугольная антипризма, октаэдр (2), и его звёздчатая форма - звёздчатый октаэдр (19).

Квадратная антипризма и её две звёздчатые формы.

Кубооктаэдр (11) и его звёздчатые формы (43 - 46).

Икосододекаэдр (12) и его звёздчатые формы (47, 63, 64), а в книге их очень много.

Ромбокубооктаэдр (13) и его звёздчатая форма.

А вот этот многогранник (псевдоромбокубооктаэдр) наделал много шума, т.к. его опубликовали только спустя 2000 лет после Архимеда (на рубеже 50-60 г.г. 20-го века). На самом деле, у него есть дефект: когда я говорил, что у полуправильных многогранников углы (вершинная модель) одинаковые, то можно заметить, что порядок обхода граней у соседних вершин всегда зеркальный, например, если у одной вершины грани идут в порядке 3-4-4-4 по часовой стрелке, то у соседней вершины тот же порядок, но против часовой стрелки. Так вот, у псевдоромбокубооктаэдра встречаются пары вершин, у которых нет зеркальной симметрии.

Ромбоикосододекаэдр (14).

Малый икосоикосододекаэдр (71).

Додекододекаэдр (73).

Ромбододекододекаэдр (76).

Большой икосододекаэдр (94).

Большой додекоикосододекаэдр (99).

Теперь многогранники, у которых тоже 4 грани сходятся в одной вершине, но порядок крест-накрест:

Тетрагемигексаэдр (67).

Октагемиоктаэдр (68).

Малый кубокубооктаэдр (69).

У вас есть немного свободного времени? Бумага, ножницы и клей?
Тогда приступаем:

Что такое развертка многогранника? Вы скажете — кусок картона, из которого можно свернуть данный многогранник. В этом есть правда, но это не вся правда. Оказывается, понятие развертки включает в себя больше, чем просто кусок картона.

Какой многогранник можно свернуть из столь хорошо известного латинского креста? Конечно же, куб. Для этого надо покрасить ребра, как это сделала наша волшебная кисточка (ребра одинакового цвета склеиваются в многограннике друг с другом).

На самом деле, конечно же, лучше было бы раскрашивать не ребра, а каждую пару точек в разные цвета. Это бы задало, как говорят в математике, условия склейки границ.

После того как условия склейки границ заданы, ребра, проходящие внутри куска картона, определены однозначно по теореме А.Д. Александрова.

Итак, из креста можно сложить куб.

Но оказывается, что если условия склейки границ задать по-другому, то можно получить совсем даже не куб!

Наша волшебная кисточка покрасила границы вот таким образом. Еще один ее взмах — и мы уже знаем, как определены ребра внутри куска картона. Если теперь, следуя нарисованным условиям склейки, сложить многогранник, то получим пирамиду!

Не так давно было доказано, что по-разному задавая условия склейки границ латинского креста, из него можно сложить 5 различных типов выпуклых многогранников.

Итак, как мы убедились, в понятие развертки входит не только кусок картона, но и условия склейки его границ. Если последнее не определено, то из одного и того же куска можно сложить разные выпуклые многогранники.
РАЗВЁРТКИ КУБА
Почти каждый, кто пытается самостоятельно найти все развёртки куба
сталкивается с вопросом: все ли развёртки найдены? Дело в том, что куб очень симметричная фигура и на подсознательном уровне нам кажется, что и число развёрток куба должно быть каким-то «красивым», похожим на другие характеристики куба (напомним, что куб имеет 12 рёбер, 8 вершин, 6 граней и 4 диагонали). Как оказалось, куб имеет 11 развёрток. И когда мы находим 11-ю развёртку, кажется, что не все ещё развёртки найдены и самые сложные ещё скрыты от нас.
Куб имеет именно 11 развёрток.

Сделать пирамиду из бумаги очень легко, потому что я представлю вам готовую развертку, вам только нужно будет перенести ее на ваш лист, вырезать и склеить. Но, есть одно Большое И Положительное Но, если у вас есть принтер, тогда Вы сделаете пирамиду как минимум в два раза быстрее. Если он у вас есть, тогда надо только распечатать развертку на принтере, вырезать и склеить – Все, пирамида готова! На этом все. Пользуйтесь на здоровье, делайте свою жизнь проше и получайте в школе за геометрические финуры только пятеркИ, ну или хотя бы четверки! Удачи!

Большой выбор развёрток простых геометрических фигур.

Первое знакомство детей с бумажным моделированием всегда начинается с простых геометрических фигур, таких как кубик и пирамида. Не у многих получается склеить кубик с первого раза, иногда требуется несколько дней, чтобы сделать поистине ровный и безупречный куб. Более сложные фигуры цилиндр и конус требуют в несколько раз больше усилий нежели простой кубик. Если вы не умеете аккуратно клеить геометрические фигуры, значит и за сложные модели вам ещё рано браться. Займитесь сами и научите своих детей клеть эти «азы» моделирования по готовым развёрткам.

Для начала я, конечно же, предлагаю научиться клеить обычный кубик. Развёртки сделаны для двух кубиков, большого и маленького. Более сложной фигурой является маленький кубик потому, как клеить его сложнее, чем большой.

Итак, начнём! Скачайте развёртки всех фигур на пяти листах и распечатайте на плотной бумаге. Перед тем, как печатать и клеить геометрические фигуры обязательно ознакомьтесь со статьёй о том, как выбрать бумагу и как вообще правильно вырезать, сгибать и клеить бумагу.

Для более качественной печати советую использовать программу AutoCAD, и даю вам развёртки для этой программы , а также читайте, как распечатывать из автокада . Вырежьте развёртки кубиков с первого листа, по линиям сгиба обязательно проведите иголкой циркуля под железную линейку, чтобы бумага хорошо сгибалась. Теперь можно начинать клеить кубики.

Для экономии бумаги и на всякий пожарный я сделал несколько развёрток маленького кубика, мало ли вам захочется склеить не один кубик или что-то не получится с первого раза. Ещё одна несложная фигура это пирамида, её развёртки найдёте на втором листе. Подобные пирамиды стоили древние египтяне, правда не из бумаги и не таких маленьких размеров:)

А это тоже пирамида, только в отличие от предыдущей у неё не четыре, а три грани.

Развёртки трёхгранной пирамиды на первом листе для печати.

И ещё одна забавная пирамидка из пяти граней, её развёртки на 4-ом листе в виде звёздочки в двух экземплярах.

Более сложная фигура это пятигранник, хотя пятигранник сложнее начертить, нежели склеить.

Развёртки пятигранника на втором листе.

Вот мы и добрались до сложных фигур. Теперь придётся поднапрячься, склеить такие фигуры нелегко! Для начала обычный цилиндр, его развёртки на втором листе.

А это более сложная фигура по сравнению с цилиндром, т.к. в её основании не круг, а овал.

Развёртки этой фигуры на втором листе, для овального основания сделано две запасных детали.

Чтобы аккуратно собрать цилиндр его детали нужно клеить встык. С одной стороны дно можно приклеить без проблем, просто поставьте на стол заранее склеенную трубку, положите на дно кружок и залейте клеем изнутри. Следите, чтобы диаметр трубы и круглого дна плотно подходили друг к другу, без щелей, иначе клей протечёт и всё приклеится к столу. Второй кружок приклеить будет сложнее, поэтому приклейте внутри вспомогательные прямоугольники на расстоянии толщины бумаги от края трубы. Эти прямоугольники не дадут упасть основанию внутрь, теперь вы без проблем приклеете кружок сверху.

Цилиндр с овальным основанием можно клеить также как и обычный цилиндр, но он имеет меньшую высоту, поэтому тут проще вставить внутрь гармошку из бумаги, а наверх положить второе основание и по краю приклеить клеем.

Теперь очень сложная фигура - конус. Его детали на третьем листе, запасной кружок для днища на 4-ом листе. Вся сложность склеивания конуса в его острой вершине, а потом ещё будет очень сложно приклеить дно.

Сложная и одновременно простая фигура это шар. Шар состоит из 12-ти пятигранников, развёртки шара на 4-ом листе. Сначала клеится две половинки шара, а потом обе склеиваются вместе.

Довольно интересная фигура - ромб, её детали на третьем листе.

А теперь две очень похожие, но совершенно разные фигуры, их отличие только в основании.

Когда склеите эти обе фигуры, то не сразу поймёте, что это вообще такое, они получились какие-то совсем невосприимчивые.

Ещё одна интересная фигурка это тор, только он у нас очень упрощён, его детали на 5-ом листе.

И наконец, последняя фигура из равносторонних треугольников, даже не знаю, как это назвать, но фигура похожа на звезду. Развёртки этой фигуры на пятом листе.

На сегодня это всё! Я желаю вам успехов в этой нелёгкой работе!

Допустим, что многогранник - многогранную поверхность - после проведения разрезов по нескольким ребрам удается развернуть на плоскость. В результате получается развертка многогранника. Развертка представляет собой плоский многоугольник, составленный из меньших многоугольников - граней исходного многогранника. Так, на рис. 1 изображены развертки всех пяти видов правильных многогранников. По ним легко восстановить, склеить соответствующие многогранники; обычно на развертках указывают, какие именно пары сторон развертки нужно склеивать для получения исходного многогранника.

Один и тот же многогранник может иметь несколько разных разверток. Например, правильный тетраэдр имеет и треугольную развертку, которая даже более удобна для склейки тетраэдра: достаточно согнуть три угловых треугольника (рис. 2). Аналогичная развертка произвольного тетраэдра представляет собой в общем случае шестиугольник с попарно равными соседними сторонами (рис. 3).

Развертки (или части разверток) применяют при изготовлении моделей различных многогранников. Пример-склейка «треугольных» (правильнее говорить «тетраэдрических») молочных пакетов. Эти пакеты не являются правильными тетраэдрами: правильные тетраэдры плохо укладываются в молочные корзины. Молочные пакеты представляют собой равногранные тетраэдры с четырьмя ребрами примерно по 17 см и двумя ребрами по 13 см. Внимательно рассмотрев пакет, вы увидите, что он склеен из... прямоугольника, получающеюся при разрезании тетраэдра по двум меньшим ребрам и большей высоте одной из граней. Легко представить обратную процедуру: как показано на рис. 4, сначала прямоугольник склеивается в цилиндр (точнее, в боковую поверхность цилиндра), а потом вдоль взаимно перпендикулярных диаметров оснований в тетраэдрический пакет. Конечно, технологически это осуществить проще, чем склейку пакета из треугольника, - не потребуется даже никаких клапанов для склейки.

«Он же, не смутясь нимало.
Развернул пазы и петли.
Стал вертеть их так и эдак,
Пока все вдруг не предстало
В виде плоскостей, квадратов,
Точно сложная фигура
Из Эвклидова трактата».
Л. Кэррол

Развертки помогают решать задачи на отыскание кратчайшего пути (по поверхности фигуры) из одной точки в другую. Например, чтобы из всех путей вида , ведущих по поверхности куба из вершины в противолежащую вершину (рис. 5,а), выбрать кратчайший, достаточно развернуть две соседние грани и соединить точки и отрезком прямой (рис. 5,б). Кратчайший путь будет проходить через середину ребра (всего таких путей будет 6 - по числу разделяющих точки и ребер куба). Обратите внимание: точно так же решается и задача о кратчайшем «перевале» через ребро любого двугранного угла (рис. 6).

Рассматривая молочный пакет, мы видели, что цилиндрическую поверхность тоже можно развернуть на плоскость. Это верно и для поверхности конуса: разрезав ее по окружности основания и по одной из образующих, после разворачивания мы получим (касающиеся друг друга) круг и круговой сектор (рис. 7,а,б). Если кривая на поверхности не пересекает линии разреза, то ее длина при разворачивании не меняется. Поэтому и в случае цилиндра и конуса развертку можно применить для отыскания кратчайшего пути из точки в точку , идущего по боковой поверхности конуса или цилиндра. Конечно, при этом следует позаботиться о выборе линии, по которой делать разрез, иначе можно получить не самый короткий путь, а лишь более короткий по сравнению с ближайшими путями (пунктир на рис. 7, а).

Развертки цилиндра и конуса можно использовать и для вычисления площадей их боковых поверхностей ( - для цилиндра и - для конуса). Однако этот метод определения площадей далек от универсальности, ибо большинство искривленных поверхностей нельзя развернуть на плоскость с сохранением длин и площадей. С этим, в частности, связаны трудности при изготовлении покрышек для мячей.

Создавать поделки своими руками интересно не только детям, но и взрослым. Однако для взрослых придумано достаточное количество моделей, которые отличаются сложностью выполнения и временем, затраченным на их создание. В последнее время у взрослых и детей появился интерес к созданию сложных геометрических фигур. К такому виду фигур относится икосаэдр, который представляет собой правильный многоугольник и является одним из платоновых тел – правильных многогранников. Эта фигура имеет 20 треугольных граней (равносторонних треугольников), 30 ребер и 12 вершин, которые являются местом стыка 5 ребер. Правильный икосаэдр из бумаги собрать достаточно сложно, но интересно. Если вы увлечены оригами, то сделать икосаэдр бумажный своими руками вам не составит труда. Его сделать из цветной, гофрированной бумаги, фольги, упаковочной бумаги для цветов. Используя разнообразные материалы, можно придать еще большую красоту и эффектность своему икосаэдру. Все зависит только от фантазии его создателя и подручного материала, имеющегося на столе.

Предлагаем вам несколько вариантов разверток икосаэдра, которые можно распечатать, перенести на плотную бумагу и картон, согнуть по линиям и склеить.

Как сделать икосаэдр из бумаги: схема

Для того чтобы собрать икосаэдр из листа бумаги или картона, необходимо предварительно подготовить следующие материалы:

• макет икосаэдра;
• клей ПВА;
• ножницы;
• линейка.

Во время создания икосаэдра важно обратить особое внимание на процесс сгиба всех деталей: для того, чтобы ровно согнуть бумагу, можно использовать обычную линейку.

Примечательно, что икосаэдр можно встретить и в повседневной жизни. Например, в форме усеченного икосаэдра (многогранник, состоящий из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников правильной формы) выполнен футбольный мяч. Это особенно видно, если раскрасить получившийся икосаэдр в черно-белый цвет, как и сам мяч.

Такой футбольный мяч можно сделать самостоятельно, распечатав предварительно развертку усеченного икосаэдра в 2 экземплярах:

Создание икосаэдра своими руками представляет интересный процесс, который требует вдумчивости, терпения и большого количества бумаги. Однако результат, полученный в итоге, будет радовать глаз еще долгое время. Икосаэдр можно дать поиграть ребенку, если он достиг уже трехлетнего возраста. Играя с такой сложной геометрической фигурой, он будет развивать не только образное мышление, пространственные навыки, но и знакомиться с миром геометрии. Если же взрослый решил создать икосаэдр самостоятельно, то такой творческий процесс по конструированию икосаэдра позволит скоротать время, а также похвастаться перед близкими своим умением создавать сложные фигуры.