Реферат: Физическое доказательство малой теоремы Ферма

Мы смогли восстановить обстоятельства допроса де Моле благодаря тому, что до наших дней дожило одно важное свидетельство. Взятое из парижского Храма тамплиеров покрывало кумранско-масонского образца, в которое завернули израненное тело Великого Магистра, вместе с ним отправилось в дом Жоффруа де Шарне. Там полотно выстирали, свернули и положили в ящик. Ровно пятьдесят лет спустя, в 1357 г., этот четырехметровый кусок ткани выставили на всеобщее обозрение в Ливе. Мы не можем с уверенностью утверждать, что это был тот же самый кусок (как-никак, прошло полвека), но зато хорошо понимаем, почему он вызвал такой интерес.

Окровавленного де Моле сняли с креста и бросили в холодной, сырой подземной темнице. По его телу струился пот, смешанный с кровью, в которой повысилось содержание молочной кислоты. Едкая жидкость пропитала покров в тех местах, которые теснее всего прилегали к коже. Травмы, полученные де Моле при распятии, “написали” картину мучений этого человека на его собственном “масонском” покрове.

Родственники де Шарне сняли покрывало, перевязали раны и, должно быть, потратили несколько месяцев на то, чтобы привести де Моле в человеческий вид. Покрывало осталось в их доме совершенно случайно. Племянник Жоффруа де Шарне (которого тоже звали Жоффруа) за год до демонстрации покрова был убит в битве при Пуатье . Очень похоже, что знание истинного происхождения покрова умерло вместе с ним.

Отпечаток на полотне был удивительно четким. Контуры тела де Моле въелись в ткань благодаря высокому содержанию в крови молочной кислоты, которая вступила в реакцию с ладаном, использовавшимся для отбеливания и богатым карбонатом кальция. Длинный нос, разделенные прямым пробором волосы до плеч, окладистая борода, раздвоенная на конце, и крепко сбитая шестифутовая фигура - все это полностью соответствует хорошо знакомому облику последнего Великого Магистра рыцарей-тамплиеров. (См. иллюстрации 19 и 20).

Люди, первыми увидевшие покров, были уверены, что знают этот образ, поскольку он отвечал их представлению о человеке, испытавшем ту же судьбу тысячу триста лет назад. Они думали, что видят лик Иисуса. Этот кусок ткани ныне называют “туринской плащаницей”.

Однако изображение, которое христианский мир привык считать ликом Спасителя, на самом деле было портретом человека, которого мучили и убили во имя Господа. Только сделали это не римляне, а жадный до денег французский король, поддерживаемый Римской католической церковью.

Многие пытались раскрыть загадку “туринской плащаницы”, но разгадку нашли мы... потому что не искали ее. Нашей целью были поиски Хирама, а Плащаница стала тем крошечным кусочком мозаики, который позволил полностью собрать головоломку. В 1988 г. Ватикан дал разрешение на проведение научного исследования Плащаницы. Три группы ученых независимо друг от друга провели анализ изотопов углерода и доказали, что полотно соткано не раньше 1260 г. С учетом того, что к моменту распятия де Моле ткань уже была в употреблении, эта дата попадает точно в яблочко.

Самое любопытное, что результаты анализа были опубликованы 13 октября - именно в тот день, когда де Моле был арестован и распят! Шансов на такое совпадение - один из трехсот шестидесяти пяти. Мы волей-неволей заподозрили, что это неспроста. Ватикан всегда отрицал, что Плащаница является священной реликвией, поскольку знал правду; может быть, Рим сделал это нарочно, чтобы лишний раз указать на ее подлинное происхождение?

Учение Иисуса, надежно похороненное вместе со своим создателем и уступившее место эллинистической магической формуле, придуманной Павлом - “Фонтаном Лжи”, благодаря распятию Жака де Моле вновь явилось миру. “Мертвое и похороненное”, оно пролежало под Иерусалимским храмом тысячу двести семьдесят четыре года. Но однажды родившиеся идеи равенства, гражданского долга и неодолимого стремления к знанию все же воскресли и положили конец тому периоду застоя и интеллектуального вакуума, который метко прозвали “Темными Веками”.

Политическая мощь, которую Римская империя медленно теряла в течение трех первых веков нашей эры, на время была восстановлена Константином, который, как было показано выше, сплел липкую паутину из предрассудков, чтобы с ее помощью уловлять умы простонародья и держать массы в повиновении. Он считал, что народ в мирное время должен создавать товары и богатеть, а в военное - поставлять солдат. Наградой за эту скучную, жалкую жизнь стало обещание личного воскресения и чудесного загробного существования. Римская церковь возвела в добродетель слепую веру, наклеив на подлинно христианскую литературу ярлык “гностики” и объявив ее злокозненной ересью. Между тем по-гречески слово “гностика” означает просто “знание”. В том, что исторический период, широко известный под названием “Темных Веков”, начался в момент возвышения Римской церкви и закончился распятием Жака де Моле, нет никакого совпадения! Ослепительный свет возродившегося истинного учения Иисуса напугал тьму, царствовавшую на Земле одно с четвертью тысячелетие, и заставил ее попятиться.

Послание через века

Хотя Великого Магистра Ордена схватили и распяли, многие тамплиеры сумели выскользнуть из сети. Значительная часть флота храмовников в это время находилась в порту Ла-Рошель на берегу Атлантического океана. Не то моряков кто-то предупредил, не то они сами вняли тревожным слухам, но факт остается фактом: когда на рассвете 13 октября в гавань явилась арестная команда, на том месте, где еще вчера вечером швартовался целый флот, было пусто. Кораблей Ордена больше никто никогда не видел, зато все хорошо видели их боевой стяг, украшенный черепом и скрещенными костями.

Нам не пришлось гадать, что случилось с тамплиерами, которые сумели избежать когтей короля Филиппа. Благодаря накопленным в ходе исследования данным мы знали, где вскоре после бегства обнаружились следы их присутствия. Таких мест было два: Шотландия и Америка.

Надежных доказательств этого у нас нет, но легенды гласят, что корабли тамплиеров направились в Шотландию и Португалию. Конечно, флот мог посетить эти убежища по очереди, но более вероятно, что вскоре после выхода из порта он разделился. Одна флотилия устремилась в Шотландию, а остальные поплыли на север дружественной Португалии, чтобы пополнить запасы провизии. Отсюда они отправились в путешествие по маршруту, который многими оспаривается, но не может быть сброшен со счетов учитывая то, что случилось с тамплиерами в Святой Земле. Рыцари направили носы своих кораблей строго на запад и поплыли вдоль по сорок второй параллели искать землю, которая, как им было известно из назорейских свитков, называется “Мерика”. Французские рыцари добавили к этому названию определенный артикль “la”. Получилось “ла Мерика”, впоследствии превратившееся в “Америка”. Почти наверняка они достигли полуострова Кейп-Код или Род-Айленда в Новой Англии в первые недели 1308 г., вступив в Новый Свет почти за полтора века до рождения Христофора Колумба.

Это утверждением может показаться слишком категоричным, однако в настоящее время получены неопровержимые доказательства того, что тамплиеры действительно достигли Америки, обосновались в ней и плавали оттуда в Шотландию и обратно. В маленьком городке Уэстфорд, штат Массачусетс, обнаружено изображение рыцаря, выбитое в скале с помощью ряда неглубоких отверстий. Этот ставший знаменитым рыцарь облачен в шлем и плащ военного ордена; несмотря на то, что портрет сильно пострадал от непогоды, было определено, что головка эфеса его меча имеет форму, характерную для мечей европейских рыцарей четырнадцатого века. Но лично для нас самым убедительным свидетельством стал щит с ясным и простым рисунком, изображающим одномачтовый средневековый корабль, плывущий на запад... по направлению к звезде.

(Рисунок на стр. 289 оригинала).

В Ньюпорте, штат Род-Айленд, находится второй памятник пребывания европейцев - загадочная башня, сооруженная в стиле тамплиерских круглых церквей. Специалисты обнаружили в ее колоннах и арках типичные черты романского стиля. Возведение этой башни датируется именно тем веком, когда исчез флот тамплиеров. Возможно, это сооружение было многоцелевым: оно служило новоявленным колонистам и церковью, и сторожевой башней, и маяком. В его древности не может быть никаких сомнений, потому что на карте побережья, начерченной в 1524 г. и являющейся доказательством того, что эту землю открыли именно европейцы, итальянский навигатор Джованни да Вераццано отметил ньюпортскую башню, обозначив ее как “Дом норманнов”.

Эти находки являются убедительным свидетельством присутствия тамплиеров в Новом Свете, но их одних для окончательного вывода было бы недостаточно. К счастью, мы уже знали, что неоспоримые доказательства этого находятся в Росслинской часовне, о которой уже шла речь выше. Хорошо известно, что это место служило тамплиерам пристанищем после атаки на Орден, предпринятой королем Филиппом и папой. На строительство тщательно отделанного здания ушло около сорока лет; Уильям Сент-Клер начал, а его сын Оливер завершил стройку в начале 1480-х гг., за несколько лет до того, как в Америку прибыл Христофор Колумб. Колумб открыл первую сушу Нового Света утром 12 октября 1492 г. Ею оказался один из Багамских островов, который Колумб назвал Сан-Сальвадором. Сам материк был открыт великим генуэзцем лишь 1 августа 1498 г.; однако высадился Колумб все же не в Северной, а в Южной Америке.

После сравнения дат чрезвычайно полезно взглянуть на украшающую часовню резьбу. Эта резьба подтверждает реальность того, что казалось невозможным. Выше указывалось, что на арках и потолке Росслинской часовни с декоративной целью изображены алоэ и початки кукурузы. Шотландцы не могли знать о существовании этих двух растений, а тем более изображать их во всех подробностях. Индейцы Северной и Южной Америки давно выращивали кукурузу, но считается, что европейцы не могли познакомиться с ней до 1492 г. Официальная история гласит, что семена кукурузы были завезены в Европу и Африку только в семнадцатом веке и лишь после этого данная культура распространилась по всему миру. Изображения алоэ и кукурузы покрывают бОльшую часть капеллы; следовательно, их начали вырезать как минимум за несколько лет до окончания строительства. Из этого можно сделать вывод, что люди, которые руководили каменщиками, строившими Росслинскую часовню, должны были посетить Америку по крайней мере на четверть века раньше Колумба.

В свете этих убедительных доказательств можно согласиться с тем, что уэстфордский рыцарь и ньюпортская башня действительно являются остатками пребывания тамплиеров в стране, которая ныне называется Соединенными Штатами Америки.

Земля звезды, называющейся “Ла’Мерика”

Прежде чем завершить рассмотрение вопроса о европейцах, первыми высадившихся в Новом Свете, постараемся объяснить, почему мы твердо убеждены, что Американский континент был назван не в честь полной посредственности Америго Веспуччи, но в честь западной звезды Мерики, которую назореи считали символом прекрасной заокеанской земли, страны заходящего солнца. Дело не столько в том, что мы знаем настоящий источник ее названия, сколько в том, что старую версию оказалось легко опровергнуть.

Официальная историческая версия происхождения названия Нового Света исходит из глупой ошибки невежественного клирика, никогда не выезжавшего из своего монастыря святого Деодата в Вогезских горах на границе Франции и Германии (тогда здесь располагалось Лотарингское герцогство). Этот не в меру ретивый священник обожал географию и многозначительные названия. Себе он придумал чрезвычайно пышный псевдоним “Гилакомилус” - от греческого “лес”, латинского “озеро” и греческого же “мельница” - в конце концов переводившийся обратно на его родной немецкий как Вальдзеемюллер. Короче говоря, сей чудак возглавлял небольшой кружок людей, имевших доступ к печатному станку и собиравших каждое доступное им слово о недавно открытом огромном и загадочном континенте за западным океаном. В апреле 1507 г. этот кружок подготовил и издал книгу объемом в 103 страницы, которая по-латыни называлась “Введение в космографию”. В ней действительно описывались основы тогдашней космографии включая деление Земли, расстояния между крупнейшими городами, сведения о направлениях ветров и климате. Именно эта книга и стала источником ошибки, которая на веки вечные прославила скромного навигатора-любителя. Вальдзеемюллер нашел несколько упоминаний разных моряков о существовании на западе огромного континента, который они называли Америкой, а также хвастливый перечень путешествий итальянского исследователя по имени Америго Веспуччи. Он по ошибке объединил два фрагмента, не имевших друг к другу никакого отношения, и написал:

“К настоящему времени три части света (Европа, Африка, Азия) хорошо изучены, а четвертая часть открыта Америго Веспуччи (как будет описано впоследствии). Учитывая, что Европа и Азия были названы в честь женщин, я не вижу причины, которая мешала бы назвать эту часть света “Америге” (от греческого “ге”, означающего “земля”), то есть землей Америго, или Америкой, в честь ее открывателя Америго, человека огромного дарования”.

Вальдзеемюллер напечатал свою книгу, снабдив ее огромной картой, на которой новый континент был назван “Америкой”. Принято думать, что именно он был автором названия Нового Света, поскольку издал первый в мире печатный географический справочник. На первый взгляд, приведенные здесь слова монаха отражают его раздумья над тем, какую форму имени “Америго Веспуччи” выбрать для данной цели, но это не так. Если внимательно перечитать эту цитату, становится ясно, что на самом деле он размышляет над тем, почему название “Америка” более предпочтительно, чем “Америге”, и приходит к выводу, что в первом имени намного больше смысла. Эта книга была написана через пятнадцать лет после “официального” открытия Колумбом Нового Света и ровно через два века после того, как там впервые высадились тамплиеры. Было бы глупо считать, что вновь открытый континент оставался безымянным, пока немецкий монах не начал писать свою книгу, или что этот человек, не имевший никакого отношения к мореплаванию, мог дерзко присвоить себе право окрестить новый материк, занимающий четверть земного шара.

Вальдзеемюллер назвал его правильно; неверным было лишь объяснение причины подобного выбора. Его сбила с толку страсть к значимым именам, а сила печатного слова привела к тому, что эта ошибка быстро распространилась по всему миру. Вскоре после того, как книга была напечатана, монах понял, что допустил чудовищный ляпсус, и публично отрекся от своего утверждения, будто первооткрывателем Нового Света был Америго Веспуччи, однако было уже слишком поздно: люди получили объяснение, которое казалось правдоподобным. Это был классический пример того, как (перефразируя Генри Форда) история становится “вздором”.

Когда устанавливается молчаливое согласие, взорвать его можно только динамитом. Миф о Веспуччи стал фольклором американской системы образования. Но тот, кто действительно хочет понять Америку и людей, которые создали современные Соединенные Штаты, должен восстановить всю цепочку, связывающую отцов американской независимости с назореями.

Заключение

Катастрофа, постигшая рыцарей-тамплиеров, была концом великого Ордена, но это несчастье открыло дорогу новому мировому порядку, основанному на повторно открытой Иисусом концепции Ма’ат. Восстанавливая сцену распятия Жака де Моле и следя за рассеявшимися по свету рыцарями-храмовниками, мы ощущали, что вот-вот обнаружим то звено, которое соединяет тамплиеров с масонами. Почему тамплиеры передали свои тайны новому ордену “вольных каменщиков”, было еще неясно, но, по крайней мере, мы знали, где искать ответ, который мог бы заполнить брешь в наших знаниях.

Заново анализируя события, связанные с распятием Жака де Моле, мы не могли не понять, что оно является центральным эпизодом периода, ставшего поворотным пунктом в развитии западного общества. Нападение на орден тамплиеров, предпринятое жадным и бесчестным французским королем, оказалось первым шагом на долгом пути к освобождению христианского мира от принципа интеллектуальной кастрации, реализовывавшегося Ватиканом на практике, и к построению цивилизации, которая опирается на стремление к знанию и осознание ценности личности. Этот путь быстрого перехода от автократии к демократии в управлении обществом и от аристократии к меритократии [буквально - “власти наиболее одаренных”. Термин введен английским социологом М.Янгом в 1958 г. - Е.К.] в социальной структуре, сопряженный с религиозной терпимостью, ни одна страна не искала с бОльшим рвением и не добилась на этом пути большего успеха, чем Соединенные Штаты Америки.

Г. Гутфройнд, У. Литтл
Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305.
В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.

Так называемая малая 1 теорема Ферма — одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,

Ap-1 ≡ 1 (mod p),

Т.е. ap-1 - 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов . Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа.

Во-первых, докажем, что если p — любое простое число, то 2p - 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p — простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону)

α ≠ T nα при n

Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n

То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп.

Во-вторых, заметим, что число 2p - 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p - 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p-1 - 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов.

Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (-j, -j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap - a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = -j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n < ap имеем α ≠ (TI)nα. В противном случае мы получили бы α = (TI)aα для любого α. Следовательно, если a не кратно p, то каждая конфигурация принадлежит какому-то классу из ap различных элементов, так что (ap - a)/ap и (ap-1 - 1)/p являются целыми числами. Тем самым малая теорема Ферма полностью доказана.

Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных.

Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m — произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что

(am-1 -1) - (ap1-1 -1) - (ap2-1 -1)

Делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am-1 -1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi — простые, а ai — целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение:

H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist"s proof of Fermat"s theorem of primes". — Amer. J. Phys., March 1982, p. 219-220. Перевод с английского Ю.А. Данилова.

1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. — М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. — М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. — Прим. перев.

Список литературы

1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. — New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980. — Прим. перев.]

2. Golomb S.W.— Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/

Метод 4.

Сны и гипноз

Метод 3.

Сны тоже показывают силу мыслей клиентов. Когда клиент видит сны, внешней средой является спальня. Эта реальность остается неизменной, что бы человеку ни снилось. В случае если это кошмар, то страх определœенно берется не из окружающей обста­новки (спальни), он идет из сновидения. Меняются сны - ме­няются и вызываемые ими эмоции. Сновидения - это тоже В, такие нее, как мысли; но это мысли, порождаемые челове­ком, когда его ощущения сведены к минимуму и сосредоточены больше на интероцептивных, чем на экстероцептивных сти­мулах.

Успешность гипнотического внушения показывает, что су­ществует несколько ситуаций типа «А вызывает С». Кора голов­ного мозга равномерно вовлечена в процессы, которые представ­ляются мгновенными и автоматическими, в такие, к примеру, как боль. Боль, субъективно испытываемая при проколе пальца иглой, - явный пример ситуации АС. А - игла - напрямую вызывает С - боль. Но гипноз обнаруживает, что даже это явля­ется состоянием ABC. В случае если вы внушаете гипнотизируемому субъекту: «Ваша рука находится в ледяной воде и сильно зако­ченела, так что вы ничего не чувствуете», - он не ощутит, что его руку укололи. Будучи под гипнотической анестезией, люди тем не менее чувствуют некоторую стимуляцию, но не воспри­нимают ее как боль. Многие описывают ее как чувство, ко­торое нельзя назвать ни негативным, ни позитивным. Конеч­но, возможность блокировать боль основана у субъекта на его способности воспринимать действительность под внушением гипнотизера.

Гипноз и сновидения показывают, что для эмоционального состояния клиента их воображение гораздо важнее реальности. В случае если им снится, что они находятся на корабле, тонущем после столкновения с айсбергом на севере Атлантического океана, они испытают весь ужас, который чувствовали пассажиры «Титани­ка», и то, что они в реальности спокойно лежат в своей кровати, не изменит этих эмоций. И если они представят, что им пять лет и они качаются на качелях, они ощутят всю радость от полета в воздухе, не важно, что они взрослые и лежат на кушетке гипно­тизера. Стоит сказать, что для нас реальным является то, что наш мозг признает таковым.

Для клиентов с более узким стилем мышления и бедным во­ображением будет полезен фактический подход. Для таких кли­ентов мы представляем физиологические аспекты теории ABC. Мы начинаем с показа изображения мозга со следующими обо­значениями (рис. 1.1).

Обоняние Слух Зрение

Эмоции

Рис. 1.1. Когнитивные и эмоциональные зоны мозга (Casey & McMullin, 1976, 1985)

Более образованным клиентам мы советуем прочитать рабо­ту Антонио Дамасио «Ошибка Декарта» (Damasio, 1994). В этой книге он описывает неврологические механизмы эмоций. Про­цесс начинается с произвольного, осознанного рассмотрения нами А. Сначала мы отражаем, оцениваем содержание ситуа­ции, частью которой являемся. Определяем ее последствия для себя и других людей. Эти когнитивные оценки представлены у нас в сенсорной коре (обоняние, слух и зрение). Наш мозг за­тем берет эти репрезентации и сопоставляет с другими ситуа­циями подобного типа, которые были в нашем опыте. В пре-фронтальной зоне коры мозга автоматически начинается поиск в памяти парных компонентов и ассоциаций. «Оказывались ли мы раньше в похожих ситуациях? Есть ли причины для беспокойства? Что произошло, когда мы последний раз были в та­кой ситуации?»

Весь последующий процесс носит когнитивный характер. Все это В. Несмотря на то что мыслительные процессы мол­ниеносны (часто длятся менее секунды) и непроизвольны, всœе они про-исходят в коре и лобных зонах мозга. Только тогда, ког­да они завершаются, активизируется биохимия сложных эмо­ций. Эти умозаключения (в префронтальных зонах мозга) авто­матически посылают сигналы в эмоциональные зоны (среди которых миндалевидное тело, передняя извилина, вегетативная нервная система и ствол мозга). Только тогда мы «ощущаем» ту или иную эмоцию. Люди с физическими повреждениями лобных долей не могут испытывать ни эмоций, ни вытекающих из них чувств. Физиологически В является главным компонен­том наших эмоций.

Г. Гутфройнд, У. Литтл
Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305.
В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.

Так называемая малая 1 теорема Ферма - одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,

ap–1 ≡ 1 (mod p),

Т.е. ap–1 – 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов . Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа.

Во-первых, докажем, что если p - любое простое число, то 2p – 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p - простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону)

α ≠ T nα при n

Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n

То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп.

Во-вторых, заметим, что число 2p – 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p – 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p–1 – 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов.

Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (–j, –j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap – a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = –j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n < ap имеем α ≠ (TI)nα. В противном случае мы получили бы α = (TI)aα для любого α. Следовательно, если a не кратно p, то каждая конфигурация принадлежит какому-то классу из ap различных элементов, так что (ap – a)/ap и (ap–1 – 1)/p являются целыми числами. Тем самым малая теорема Ферма полностью доказана.

Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных.

Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m - произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что

(am–1 –1) – (ap1–1 –1) – (ap2–1 –1)

Делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am–1 –1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi - простые, а ai - целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение:

Примечания

H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist"s proof of Fermat"s theorem of primes". - Amer. J. Phys., March 1982, p. 219–220. Перевод с английского Ю.А. Данилова.

1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. - М.–Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. - М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М.: Мир, 1980. - Прим. перев.

Список литературы

1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. - New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. - М.: Наука, 1980. - Прим. перев.]

2. Golomb S.W.- Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718.

Г. Гутфройнд, У. Литтл
Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305.
В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.

Так называемая малая 1 теорема Ферма - одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,

ap–1 ≡ 1 (mod p),

Т.е. ap–1 – 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов . Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа.

Во-первых, докажем, что если p - любое простое число, то 2p – 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p - простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону)

α ≠ T nα при n

Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n

То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп.

Во-вторых, заметим, что число 2p – 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p – 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p–1 – 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов.

Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (–j, –j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap – a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = –j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n < ap имеем α ≠ (TI)nα. В противном случае мы получили бы α = (TI)aα для любого α. Следовательно, если a не кратно p, то каждая конфигурация принадлежит какому-то классу из ap различных элементов, так что (ap – a)/ap и (ap–1 – 1)/p являются целыми числами. Тем самым малая теорема Ферма полностью доказана.

Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных.

Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m - произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что

(am–1 –1) – (ap1–1 –1) – (ap2–1 –1)

Делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am–1 –1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi - простые, а ai - целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение:

Примечания

H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist"s proof of Fermat"s theorem of primes". - Amer. J. Phys., March 1982, p. 219–220. Перевод с английского Ю.А. Данилова.

1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. - М.–Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. - М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М.: Мир, 1980. - Прим. перев.

Список литературы

1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. - New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. - М.: Наука, 1980. - Прим. перев.]

2. Golomb S.W.- Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718.