Ряды лорана изолированные особые точки и их классификация. Разложение функции в ряд тейлора, маклорена, лорана

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

f(x)=

в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1 окружности 1C - zo = R" и |С - Zo = г"; обход обеих окружностей зададим против часовой стрелки. Через TV обозначим окружность |С - za = г" с обходом по часовой стрелке. Функция f(z) аналитична в замкнутой области V 7 , граница Г 7 которой состоит из кривых Гх и 17 (напомним, что при обходе границы область должна оставаться слева). По интегральной формуле Коши (см. теорему 18.1)

Разложение в ряд первого интеграла в правой части (25.4) проводится так же, как и в доказательстве теоремы 22.2. Функцию представляем в виде

причем ряд (25.5) сходится абсолютно и равномерно по переменному

С на IV Умножая равенства (25.5) на функцию ^-:/(?), ограничениям

ную на Г1 (согласно замечанию 20.5, равномерная сходимость рядов в (25.5) при этом нс нарушается), и почленно интегрируя вдоль IV получаем

Итак, первый интеграл в правой части (25.4) мы разложили в сходящийся ряд по степеням (z - г«). Второй интеграл в (25.4) придется разлагать иначе, поскольку для С € Гг будет z - zo > |С - Zq и, следовательно, ряды в (25.5) расходятся. Имеем

Снова применяя формулу (22.С), получаем

При всех С € Г2 выполняются равенства

Поскольку ряд qi n сходится, то в силу признака равномерной

сходимости Вейерштрасса (теорема 20.2) ряд в правой части (25.8) сходится на Г о абсолютно и равномерно по переменному?. Нам удобно переписать этот ряд в несколько иной форме, введя новый индекс суммирования к равенством к = -п - 1, т.е. п = -к - 1. Когда п принимает значения 0,1,2,..., индекс к пробегает значения -1, -2, -3____

Умножим равенства (25.9) на f(Q (что не нарушит равномерной

сходимости рядов в (25.9) на окружности Гг) и почленно проинтегрируем вдоль Гг:

Индекс к в формулах (25.10), (25.11) можно заменить любой другой буквой; в частности, можно снова обозначить его через н, где п = - 1,- 2,... Подставляя разложения (25.6) и (25.10) в (25.4), придем к равенству (25.2). Функция . является аналитической

(С - zo) n + l

в кольце г г 0 р, такое что г то обе окружности Ti и Гг можно заменить окружностью |С - zq = р. При этом равенства (25.7) и (25.11) запишутся единой формулой (25.3). Теорема 25.3 доказана.

Ряд (25.2) по целым степеням (z - -го) (как положительным, так и отрицательным), коэффициенты которого определяются но форму-

лам (25.3), называется рядом Лорана функции f(z). Ряд ^2 c n (z -

п =0

• - Zo) n называется правильной частью , а ряд c n (z - zq) u (пишут

также c n{ z - z o) n) - главной частью ряда Лорана (обоснован-

ность названий выяснится в дальнейшем).

Перейдем теперь к вопросу о единственности разложения (25.2).

Теорема 25.2 (теорема единственности разложения функции в ряд Лорана). Пусть в некотором, кольце V = {г z - zo (25.2). Тогда f(z ) является

аналитической в V функцией, а коэффициенты с п, п = 0, ±1, ±2.... разложения определяются однозначно по формулам, (25.3).

Доказательство. Так как по условию теоремы ряд (25.2) сходится в V, то сходятся оба ряда в правой части (25.1), состав-

ляющие ряд (25.2). Первый из них - ряд Y1 °n(z ~ z o) n ~ является

обычным степенным рядом, сходящимся в некотором круге с центром Zo и расходящимся вне этого круга. Поскольку этот ряд сходится в V , то все кольцо V лежит в круге сходимости. Так как сумма

степенного ряда аналитична в круге сходимости (свойство 21.6), то

сумма Si (.г) ряда c n (z - zq) h аналитична в V. По свойству 21.5,

этот ряд равномерно сходится в любом круге z - zq R"

но ряд c n{z - zo) n - Сделаем замену переменных, положив Z =

=-, к = - п. Тогда изучаемый ряд примет вид V C-uZ k . Этот

z ~ z o k=l

ряд является степенным рядом относительно переменного Z с центром Zo = 0: он сходится в некотором круге с R"o этот ряд сходится равномерно (свойство 21.5). Возвратимся теперь к переменному z. Тогда круг

/?о перейдет в множество --- z - zo > 1 /Ro, т.е. во внешность круга с центром zq радиуса 1/Ло- Таким образом, ряд

^2 c n (z - Zo) n сходится при |z - Zo > l/Ro к аналитической функ- п =-1

ции 5-2(г) и расходится при z - zo 1 /Rq. Поскольку этот ряд сходится в V, то все кольцо V лежит в области сходимости z - Zo > 1/Яо этого ряда. При этом в области z - zo > 1 //?о с Н® Но сходимость будет равномерной. В частности, рад равномерно сходится при |z - zo > г ", если г" > г.

Итак, оба ряда в правой части (25.1) сходятся в кольце V и их суммы Si (г) и S-j(z) аналитичны в V. Значит, функция f(z) = Si (z) + 4* S-z(z) аналитична в V .

Покажем, что коэффициенты с п разложения определяются однозначно по формулам (25.3). Возьмем окружность Г = {z - zo = /?}, где г Подберем числа г" и R" так, чтобы г Оба ряда в правой части (25.1) равномерно сходятся в кольце V = = {г; z - Zo R 1 }- Значит, и ряд

сходится в нем равномерно. Это свойство сохранится после умножения обеих частей на произвольную степень (z - zo)~ n ~ l , n = О, ±1, ±2_____ так как каждая из этих степеней является функцией, ограни

ченной в V (см. замечание 20.5):

В силу теоремы 20.4 полученный ряд можно почленно интегрировать вдоль Г:

Воспользуемся теперь равенством (15.7):

согласно которому все интегралы в левой части (25.12) равны нулю, кроме одного, для которого к - п - 1 = - 1 (т.е. к = гг) и который равен 2тгг. Поэтому в сумме из (25.12) остается лишь одно слагаемое при к = п, и мы получаем

что равносильно равенствам (25.3). Теорема 25.2 доказана.

При доказательстве теоремы 25.2 мы установили, что ряд (25.2) сводится к объединению двух степенных рядов, один из которых сходится внутри некоторот круга с центром zq, а другой - вне круга меньшего радиуса с гем же центром (если бы радиус второго круга был больше, то множество сходимости ряда (25.2) было бы пустым). Обозначим радиусы этих кругов R и г соответственно (здесь не утверждается, ч то эти числа совпадают с внешним и внутренним радиусами кольца V в теоремах 25.1, 25.2). Отсюда и из свойств степенных рядов (см. §21) вытекают следующие свойства ряда (25.2).

Свойство 25.3. Множеством сходимости ряда (25.2) является кольцо V = {г z - zq R) с возможным добавлением некоторых или всех точек на его границе. При этом возможны случаи г = 0 и R = оо.

Свойство 25.4. Сумма 5(г) ряда (25.2) является аналитической функцией внутри кольца V .

Свойство 25.5. Ряд (25.2) можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать внутри кольца V любое число jhm. Полученные при этом ряды имеют то же кольцо сходимости V , что

и исходный ряд (25.2); сходимость в граничных точках может не сохраняться.

Свойство 25.6. Если V = {г Zo является кольцом сходимости ряда Лорана функции f(z ) и 0

Доказательство. Ряд Лорана функции /(z) есть объединено оо 1

ние двух степенных рядов °n(z ~ z o) n и c_*Z*, где Z =-.

n=0 k- z - Z 0

Кругами СХОДИМОСТИ ЭТИХ рядов ЯВЛЯЮТСЯ z - 2о| R и z - zo = R и = 1/г (т.е. z - zo = г) лежат особые точки

функций Si(z) = c n{z - Zq) u и S- 2 (z) = Cn(z-z 0) n соответ-

ственно. Следовательно, на этих окружностях лежат особые точки функции f(z) = Si (г) + S- 2 (z), что и требовалось доказать.

Дчя нахождения разложений в ряд Лорана широко используются те же приемы, что и для разложения в ряд Тейлора, а именно метод подстановки, почленное интегрирование и дифференцирование рядов и т.д.

П р и м е р 25.7. Найти все лорановские разложения функции

/( г) = f по степеням (z - 1).

" z(z - 1)

Решение. Сделаем замену переменного: w = z - 1, т.е. z = w +

1. Выполнив подстановку, получим функцию г/(гс) = . w . . Раз-

{w + 1)wj

ложим полученную дробь в сумму пр(хдейших дробей (подробнее о разложении в сумму простейших дробей см. §32). Разложение будем искать в виде

где А и D числа, которые пред сшит найти. С этой целью приведем дроби, стоящие справа, к общему знаменателю:

Отсюда следует, что w + 2 = A(w + 1) + Bw, причем равенство выполнено при всех значениях w , включая w = 0 и w = - 1 (это следует из непрерывности левой и правой частей этого равенства). При w = 0 получаем 2 = .4, т.е. А = 2; подставляя w = -1, имеем 1 = -В, т.е. В = - 1. Таким образом,

Эта функция имеет особые точки w = 0, w = - 1 и, следовательно, аполитична в кольцах V’i = {0 w

При w > 1 полученный ряд перестает сходиться. Поэтому для разложения функции g(w) в кольце У 2 следует преобразовать дробь:

При |ш| > 1 будет -

вместо z подставить в нее l/w. Выполняя указанные подстановки, получим

(мы сделали замену к = - (п + 1) и воспользовались равенством (- 1)* = (-I) - *). Возвращаясь к переменному z - w + 1, получаем искомые разложения функции f(z):

ного члена -- (все остальные коэффициенты главной части рав

ны нулю), а ряд в (25.13) дает правильную часть разложения. При 1 z - 1| z - 1| = 0 с радиусом 0и|г-1| = 1с радиусом 1) содержат особые точки функции f(z).