वैकल्पिक श्रृंखला. पूर्ण और सशर्त अभिसरण. प्रत्यावर्ती श्रृंखला के अभिसरण का पर्याप्त संकेत। वैकल्पिक श्रृंखला, पूर्ण और सशर्त अभिसरण

वह संख्या श्रृंखला जिसके सदस्यों के मनमाने चिह्न (+), (?) होते हैं, एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है। ऊपर मानी गई वैकल्पिक श्रृंखला एक वैकल्पिक श्रृंखला का एक विशेष मामला है; यह स्पष्ट है कि प्रत्येक प्रत्यावर्ती श्रृंखला प्रत्यावर्ती नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक पंक्ति? प्रत्यावर्ती, लेकिन प्रत्यावर्ती श्रृंखला नहीं।

ध्यान दें कि एक वैकल्पिक श्रृंखला में चिह्न (+) और चिह्न (?) दोनों के साथ अनंत रूप से कई पद होते हैं। यदि यह सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए, श्रृंखला में नकारात्मक शब्दों की एक सीमित संख्या है, तो उन्हें खारिज कर दिया जा सकता है और केवल सकारात्मक शब्दों से बनी श्रृंखला पर विचार किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

परिभाषा 1. यदि कोई संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है और उसका योग S के बराबर है, और आंशिक योग S n के बराबर है, तो इसे श्रृंखला का शेष कहा जाता है, और, अर्थात। अभिसरण श्रृंखला का शेष भाग 0 की ओर प्रवृत्त होता है।

आइए हम एक अभिसारी प्रत्यावर्ती श्रृंखला को एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला के विशेष मामले के रूप में मानें

कहाँ। आइए इसे लीबनिज़ की कसौटी के अनुसार इस रूप में लिखें; तब से, अर्थात् अभिसरण श्रृंखला का शेष भाग 0 की ओर प्रवृत्त होता है।

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, पूर्ण और सशर्त अभिसरण की अवधारणाओं को पेश किया जाता है।

परिभाषा 2. एक श्रृंखला को पूर्ण रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि उसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है।

परिभाषा 3. यदि कोई संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, और उसके सदस्यों के निरपेक्ष मानों से बनी श्रृंखला विचलन करती है, तो मूल श्रृंखला को सशर्त (गैर-पूर्ण रूप से) अभिसरण कहा जाता है।

प्रमेय 2 (वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक पर्याप्त मानदंड)। एक वैकल्पिक श्रृंखला अभिसरण करती है, और बिल्कुल, यदि एक श्रृंखला अपने शब्दों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी होती है।

सबूत। आइए हम श्रृंखला के आंशिक योग से निरूपित करें: , और द्वारा? श्रृंखला का आंशिक योग: . आइए हम सभी सकारात्मक पदों के योग से, और इसमें शामिल सभी नकारात्मक शब्दों के निरपेक्ष मानों के योग से निरूपित करें। ज़ाहिर तौर से।

प्रमेय की शर्तों के अनुसार, श्रृंखला अभिसरण करती है, फिर इसका अस्तित्व होता है, और अनुक्रम भी ऐसा ही होता है? फिर, नीरस रूप से बढ़ रहा है और गैर-नकारात्मक है। जाहिर है, तब अनुक्रम और एकरस रूप से बढ़ रहे हैं और बंधे हुए हैं, और उनकी सीमाएँ और के बराबर हैं। तब। इसका मतलब यह है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण और अभिसरण करती है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी। प्रमेय 2 प्रत्यावर्ती श्रृंखला के अभिसरण के लिए केवल पर्याप्त शर्त प्रदान करता है। व्युत्क्रम प्रमेय सत्य नहीं है, अर्थात्। यदि एक वैकल्पिक श्रृंखला अभिसरण करती है, तो यह आवश्यक नहीं है कि मॉड्यूल से बनी श्रृंखला अभिसरण हो (यह या तो अभिसरण या भिन्न हो सकती है)। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला लीबनिज की कसौटी के अनुसार अभिसरण करती है (इस व्याख्यान का उदाहरण 1 देखें), लेकिन इसके सदस्यों (हार्मोनिक श्रृंखला) के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण 2. सशर्त और पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें।

समाधान। यह शृंखला प्रत्यावर्ती है, जिसका सामान्य पद इस प्रकार दर्शाया जाएगा: . आइए निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला संकलित करें और उस पर डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण लागू करें। आइए एक सीमा बनाएं जहां, . परिवर्तन करने के बाद, हमें मिलता है: इस प्रकार, श्रृंखला अभिसरण करती है, जिसका अर्थ है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है। उत्तर: श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण है।

उदाहरण 3. पूर्ण और सशर्त अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें।

समाधान। ए) हम पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करते हैं। आइए हम निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला को नामित और संकलित करें। हमें सकारात्मक पदों वाली एक श्रृंखला प्राप्त होती है, जिस पर हम श्रृंखला की तुलना करने के लिए सीमा परीक्षण लागू करते हैं (प्रमेय 2, व्याख्यान 2, खंड 2.2)। किसी शृंखला से तुलना करने के लिए, ऐसी शृंखला पर विचार करें जिसका स्वरूप हो। यह शृंखला एक डिरिचलेट शृंखला है जिसमें एक प्रतिपादक है, अर्थात्। वह अलग हो जाता है. आइए निम्नलिखित सीमा बनाएं और गणना करें। चूँकि सीमा मौजूद है, 0 के बराबर नहीं है और ? के बराबर नहीं है, तो दोनों श्रृंखलाएँ समान व्यवहार करती हैं। इस प्रकार, श्रृंखला अलग हो जाती है, जिसका अर्थ है कि मूल श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण नहीं है।

बी) इसके बाद, हम सशर्त अभिसरण के लिए मूल श्रृंखला की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए लाइबनिज़ मानदंड (प्रमेय 1, खंड 3.1) की शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। शर्त 1): , कहाँ, अर्थात्। यह शृंखला बारी-बारी से चल रही है। श्रृंखला की शर्तों की मोनोटोनिक कमी के बारे में स्थिति 2) की जांच करने के लिए, हम निम्नलिखित विधि का उपयोग करते हैं। पर परिभाषित सहायक फ़ंक्शन पर विचार करें (फ़ंक्शन ऐसा है जैसे हमारे पास है)। एकरसता के लिए इस फ़ंक्शन की जांच करने के लिए, आइए इसका व्युत्पन्न ढूंढें:। यह व्युत्पन्न पर. नतीजतन, फ़ंक्शन x के निर्दिष्ट मानों के लिए नीरस रूप से घटता है। यह मानते हुए, हम कहाँ पहुँचते हैं। इसका मतलब है कि शर्त 2) संतुष्ट है। शर्त 3) की जाँच करने के लिए हम सामान्य पद की सीमा ज्ञात करते हैं: , अर्थात। तीसरी शर्त पूरी हो गई है. इस प्रकार, मूल श्रृंखला के लिए लाइबनिज़ परीक्षण की सभी शर्तें संतुष्ट हैं, अर्थात। यह एकत्रित हो जाता है।

उत्तर: श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

पूर्णतया और सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के गुण

संपत्ति 1. यदि कोई श्रृंखला पूर्णतः अभिसरण है, तो यह अपने पदों के किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए पूर्णतः अभिसरण करती है, और श्रृंखला का योग पदों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। अगर? इसके सभी सकारात्मक शब्दों का योग, है ना? ऋणात्मक पदों के सभी निरपेक्ष मानों का योग, तो श्रृंखला का योग बराबर है।

संपत्ति 2. यदि श्रृंखला पूर्णतः अभिसारी है और, तो श्रृंखला भी पूर्णतः अभिसारी है।

संपत्ति 3. यदि श्रृंखला पूर्णतः अभिसारी है, तो श्रृंखला भी पूर्णतः अभिसारी है।

संपत्ति 4 (रीमैन का प्रमेय)। यदि श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, तो चाहे हम कोई भी संख्या A लें, हम इस श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि इसका योग बिल्कुल A के बराबर हो; इसके अलावा, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करना संभव है ताकि इसके बाद यह अलग हो जाए।

बारी-बारी से पंक्तियाँ। लीबनिज़ का चिन्ह.
पूर्ण और सशर्त अभिसरण

इस पाठ के उदाहरणों को समझने के लिए, आपको सकारात्मक संख्या श्रृंखला में अच्छी तरह से पारंगत होने की आवश्यकता है: समझें कि एक श्रृंखला क्या है, एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक संकेत को जानें, तुलना परीक्षण लागू करने में सक्षम हों, डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण, कॉची का परीक्षण. लेखों का लगातार अध्ययन करके विषय को लगभग शून्य से उठाया जा सकता है नौसिखियों के लिए पंक्तियाँऔर डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह. कॉची के लक्षण. तार्किक रूप से, यह पाठ लगातार तीसरा है, और यह आपको न केवल वैकल्पिक पंक्तियों को समझने की अनुमति देगा, बल्कि पहले से कवर की गई सामग्री को समेकित करने की भी अनुमति देगा! इसमें थोड़ी नवीनता होगी, और वैकल्पिक पंक्तियों में महारत हासिल करना मुश्किल नहीं होगा। सब कुछ सरल और सुलभ है.

प्रत्यावर्ती श्रृंखला क्या है?यह बात नाम से ही स्पष्ट अथवा लगभग स्पष्ट है। बस एक साधारण उदाहरण.

आइए श्रृंखला को देखें और इसका अधिक विस्तार से वर्णन करें:

और अब आएगा कातिलाना कमेंट. एक वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्यों में वैकल्पिक चिह्न होते हैं: प्लस, माइनस, प्लस, माइनस, प्लस, माइनस, आदि। अनंत काल तक।

संरेखण एक गुणक प्रदान करता है: यदि सम है, तो धन चिह्न होगा, यदि विषम है, तो ऋण चिह्न होगा (जैसा कि आपको पाठ से याद है) संख्या क्रम के बारे में, इस चीज़ को "चमकती रोशनी" कहा जाता है)। इस प्रकार, एक वैकल्पिक श्रृंखला को शून्य से एक डिग्री "एन" तक "पहचान" किया जाता है।

व्यावहारिक उदाहरणों में, श्रृंखला के पदों का विकल्प न केवल गुणक द्वारा, बल्कि उसके भाई-बहनों द्वारा भी प्रदान किया जा सकता है: , , , …. उदाहरण के लिए:

ख़तरा है "धोखा": , , आदि। - ऐसे गुणक संकेत परिवर्तन प्रदान न करें. यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक के लिए: , , . धोखे की पंक्तियाँ न केवल विशेष रूप से प्रतिभाशाली छात्रों को दी जाती हैं, वे समाधान के दौरान समय-समय पर "स्वयं" उत्पन्न होती हैं कार्यात्मक श्रृंखला.

अभिसरण के लिए एक वैकल्पिक श्रृंखला की जांच कैसे करें?लीबनिज परीक्षण का प्रयोग करें. मैं जर्मन विचार के दिग्गज गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज के बारे में कुछ भी नहीं कहना चाहता, क्योंकि अपने गणितीय कार्यों के अलावा, उन्होंने दर्शनशास्त्र पर कई खंड लिखे। दिमाग के लिए खतरनाक.

लीबनिज़ का परीक्षण: यदि एक वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्य नीरसता सेमापांक में कमी, फिर श्रृंखला अभिसरित हो जाती है।

या दो बिंदुओं में:

1) श्रृंखला बारी-बारी से चल रही है।

2) श्रृंखला के पद मापांक में घटते हैं:, और नीरस रूप से घटते हैं।

यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो श्रृंखला परिवर्तित हो जाती है.

संक्षिप्त जानकारीमॉड्यूल के बारे में मैनुअल में दिया गया है स्कूली गणित पाठ्यक्रम के लिए हॉट सूत्र, लेकिन सुविधा के लिए एक बार फिर:

"मोडुलो" का क्या मतलब है? मॉड्यूल, जैसा कि हम स्कूल से याद करते हैं, ऋण चिह्न को "खा जाता है"। चलिए पंक्ति पर वापस चलते हैं . इरेज़र से सभी चिन्हों को मानसिक रूप से मिटा दें आइए संख्याओं पर नजर डालें. हम उसे देखेंगे हर अगलेशृंखला सदस्य कमपिछले वाले की तुलना में. इस प्रकार, निम्नलिखित वाक्यांशों का अर्थ एक ही है:

- श्रृंखला के सदस्य संकेत की परवाह किए बिनाकम हो रहे हैं.
- श्रृंखला के सदस्य घटते हैं सापेक्ष.
- श्रृंखला के सदस्य घटते हैं द्वारा निरपेक्ष मूल्य.
– मॉड्यूलश्रृंखला का सामान्य पद शून्य हो जाता है:

// मदद का अंत

अब थोड़ी बात एकरसता की करें। एकरसता उबाऊ निरंतरता है।

श्रृंखला के सदस्य सख्ती से नीरसयदि श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य मापांक में कमी करता है सापेक्षपिछले से कम: . एक पंक्ति के लिए घटने की सख्त एकरसता पूरी होती है, इसका विस्तार से वर्णन किया जा सकता है:

या हम संक्षेप में कह सकते हैं: श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य सापेक्षपिछले वाले से कम: .

श्रृंखला के सदस्य सख्ती से नीरस नहींमॉड्यूलो में कमी यदि श्रृंखला मॉड्यूलो का प्रत्येक निम्नलिखित सदस्य पिछले वाले से बड़ा नहीं है:। फैक्टोरियल वाली एक श्रृंखला पर विचार करें: यहां एक ढीली एकरसता है, क्योंकि श्रृंखला के पहले दो पद मापांक में समान हैं। अर्थात् शृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य सापेक्षपिछले वाले से अधिक नहीं: .

लीबनिज़ के प्रमेय की शर्तों के तहत, घटती एकरसता को संतुष्ट किया जाना चाहिए (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह सख्त है या गैर-सख्त है)। इसके अलावा, श्रृंखला के सदस्य कर सकते हैं कुछ समय के लिए मापांक में भी वृद्धि, लेकिन श्रृंखला की "पूंछ" आवश्यक रूप से नीरस रूप से घटती होनी चाहिए।

मैंने जो ढेर लगाया है उससे डरने की कोई जरूरत नहीं है; व्यावहारिक उदाहरण सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे:

उदाहरण 1

श्रृंखला के सामान्य शब्द में कारक शामिल है, और यह लीबनिज परीक्षण की शर्तों की पूर्ति की जांच करने के लिए एक प्राकृतिक विचार को प्रेरित करता है:

1) विकल्प के लिए पंक्ति की जाँच करना। आमतौर पर इस बिंदु पर निर्णय श्रृंखला का विस्तार से वर्णन किया जाता है और फैसला सुनाओ "श्रृंखला बारी-बारी से चल रही है।"

2) क्या श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घटता है? यहां आपको सीमा को हल करने की आवश्यकता है, जो अक्सर बहुत सरल होती है।

- श्रृंखला की शर्तें मापांक में घटती नहीं हैं, और यह स्वचालित रूप से इसके विचलन को दर्शाती है - इस कारण से कि सीमा अस्तित्व में नहीं है *, अर्थात, श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड पूरा नहीं हुआ है।

उदाहरण 9

अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें

उदाहरण 10

अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें

संख्यात्मक सकारात्मक और वैकल्पिक श्रृंखला के उच्च गुणवत्ता वाले अध्ययन के बाद, स्पष्ट विवेक के साथ, आप कार्यात्मक श्रृंखला की ओर बढ़ सकते हैं, जो कम नीरस और नीरस रूप से दिलचस्प नहीं हैं।

एक श्रृंखला को प्रत्यावर्ती कहा जाता है यदि उसके पदों में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों शामिल हों।

पिछले पैराग्राफ में विचार की गई वैकल्पिक श्रृंखला स्पष्ट रूप से वैकल्पिक श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

हम यहां प्रत्यावर्ती श्रृंखला के कुछ गुणों पर विचार करेंगे। इसके अलावा, पिछले पैराग्राफ में अपनाए गए समझौते के विपरीत, अब हम मानेंगे कि संख्याएँ सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकती हैं।

सबसे पहले, हम एक चर श्रृंखला के अभिसरण का एक महत्वपूर्ण पर्याप्त संकेत देते हैं।

प्रमेय 1. यदि प्रत्यावर्ती श्रृंखला

जैसे कि एक श्रृंखला अपने सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी हो,

अभिसरण होता है, फिर यह वैकल्पिक श्रृंखला भी अभिसरण करती है।

सबूत। मान लीजिए श्रृंखला (1) और (2) के प्रथम पदों का योग है।

शर्त के अनुसार, इसकी एक सीमा होती है और यह सकारात्मक रूप से एक से कम मात्रा में बढ़ती है। नतीजतन, उनकी सीमाएं हैं। संबंध से यह पता चलता है कि और उनकी एक सीमा है और यह सीमा बराबर है, यानी, वैकल्पिक श्रृंखला (1) अभिसरण करती है।

सिद्ध प्रमेय कुछ वैकल्पिक श्रृंखलाओं के अभिसरण का न्याय करना संभव बनाता है। एक वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न का अध्ययन इस मामले में सकारात्मक पदों वाली श्रृंखला के अध्ययन तक कम हो गया है।

आइए दो उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

जहां a कोई संख्या है.

समाधान। इस शृंखला के साथ-साथ शृंखला पर भी गौर करें

श्रृंखला (5) अभिसरण (§ 6 देखें)। श्रृंखला (4) के सदस्य श्रृंखला (5) के संगत सदस्यों से बड़े नहीं हैं; इसलिए, श्रृंखला (4) भी अभिसरित होती है। लेकिन फिर, सिद्ध प्रमेय के आधार पर, यह वैकल्पिक श्रृंखला (3) भी अभिसरित हो जाती है।

उदाहरण 2. श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें

समाधान। इस शृंखला के साथ-साथ शृंखला पर भी गौर करें

यह श्रृंखला अभिसरण करती है क्योंकि यह 1/3 के हर के साथ घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। लेकिन फिर दी गई श्रृंखला (6) भी अभिसरित हो जाती है, क्योंकि इसके पदों का निरपेक्ष मान श्रृंखला (7) के संगत पदों से कम है।

ध्यान दें कि ऊपर साबित अभिसरण का संकेत केवल एक वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण का पर्याप्त संकेत है, लेकिन आवश्यक नहीं: ऐसी वैकल्पिक श्रृंखलाएं हैं जो स्वयं अभिसरण करती हैं, लेकिन उनके शब्दों के पूर्ण मूल्यों से बनी श्रृंखलाएं अलग हो जाती हैं। इस संबंध में, पूर्ण और सशर्त अभिसरण की अवधारणाओं को पेश करना उपयोगी है। प्रत्यावर्ती श्रृंखला और, इन अवधारणाओं के आधार पर, प्रत्यावर्ती श्रृंखला को वर्गीकृत करें।

परिभाषा। वैकल्पिक श्रृंखला

पूर्णतया अभिसारी कहा जाता है यदि उसके पदों के निरपेक्ष मानों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है:

यदि प्रत्यावर्ती श्रृंखला (1) अभिसरण करती है, और श्रृंखला (2), जो इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी है, अलग हो जाती है, तो इस प्रत्यावर्ती श्रृंखला (1) को सशर्त या गैर-पूर्ण रूप से अभिसरण श्रृंखला कहा जाता है।

उदाहरण 3. एक वैकल्पिक श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, क्योंकि इसके सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बनी श्रृंखला एक हार्मोनिक श्रृंखला है जो विचलन करती है। श्रृंखला स्वयं अभिसरण करती है, जिसे लीबनिज़ के परीक्षण का उपयोग करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।

उदाहरण 4. एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला एक पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला है, क्योंकि इसके पदों के निरपेक्ष मानों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है, जैसा कि § 4 में स्थापित किया गया था।

निरपेक्ष अभिसरण की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रमेय 1 को अक्सर निम्नानुसार तैयार किया जाता है: प्रत्येक पूर्ण रूप से अभिसरण श्रृंखला एक अभिसरण श्रृंखला होती है।

निष्कर्ष में, हम बिल्कुल अभिसरण और सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के निम्नलिखित गुणों पर ध्यान देते हैं (प्रमाण के बिना)।

प्रमेय 2. यदि कोई श्रृंखला पूर्णतः अभिसारी है, तो यह अपने पदों के किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए पूर्णतः अभिसारी रहती है। इसके अलावा, किसी श्रृंखला का योग उसके पदों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है।

यह गुण सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के लिए सही नहीं है। प्रमेय 3. यदि कोई श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कौन सी संख्या निर्दिष्ट करते हैं, हम इस श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि इसका योग ए के बराबर हो। इसके अलावा, हम सशर्त रूप से अभिसरण की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं श्रृंखला ताकि पुनर्व्यवस्था के बाद परिणामी श्रृंखला अपसारी हो जाए।

इन प्रमेयों का प्रमाण इस पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है। इसे अधिक विस्तृत पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है (उदाहरण के लिए, फ्न्ख्तेंगोल्ट्स जी.एम. कोर्स ऑफ डिफरेंशियल एंड इंटीग्रल कैलकुलस, खंड II. - एम.: फ़िज़मैटगिज़, 1962, पीपी. 319-320 देखें)।

एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

परिभाषा 2.2.वह संख्या शृंखला जिसके सदस्यों के बाद किसी संख्या के अलग-अलग चिह्न होते हैं, कहलाती है वैकल्पिक संकेत .

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए निम्नलिखित का पालन किया जाता है: अभिसरण के लिए सामान्य पर्याप्त परीक्षण.

प्रमेय 2.2.एक वैकल्पिक श्रृंखला दी जाए

यदि इस श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है

तब प्रत्यावर्ती श्रृंखला (2.2) स्वयं अभिसरण हो जाती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विपरीत कथन सत्य नहीं है: यदि श्रृंखला (2.2) अभिसरण करती है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि श्रृंखला (2.3) अभिसरण होगी।

परिभाषा 2.3. बिल्कुल अभिसरण , यदि उसके सदस्यों के मॉड्यूल से बनी एक श्रृंखला अभिसरण करती है।

एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है सशर्त रूप से अभिसरण , यदि यह स्वयं अभिसरण करता है, लेकिन इसके सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला अलग हो जाती है।

प्रत्यावर्ती श्रृंखलाओं में, पूर्णतया अभिसरण श्रृंखला एक विशेष स्थान रखती है। ऐसी श्रृंखला में कई गुण होते हैं, जिन्हें हम बिना प्रमाण के तैयार करेंगे।

योगों के साथ दो पूर्णतः अभिसारी श्रृंखलाओं का गुणनफल एक पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग बराबर होता है।

इस प्रकार, बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला को सामान्य श्रृंखला की तरह जोड़ा, घटाया और गुणा किया जाता है। ऐसी श्रृंखला का योग उस क्रम पर निर्भर नहीं करता जिसमें पद लिखे गए हैं।

सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के मामले में, संबंधित कथन (गुण), आम तौर पर बोलते हुए, मान्य नहीं होते हैं।

इस प्रकार, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके, यह सुनिश्चित करना संभव है कि श्रृंखला का योग बदल जाए। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला लीबनिज़ के परीक्षण के अनुसार सशर्त रूप से अभिसरण होता है। माना कि इस श्रृंखला का योग बराबर है। आइए इसके पदों को फिर से लिखें ताकि एक सकारात्मक पद के बाद दो नकारात्मक पद रह जाएं। हमें एक शृंखला मिलती है

राशि आधी कर दी गई है!

इसके अलावा, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके, कोई पूर्व निर्धारित योग या अपसारी श्रृंखला (रीमैन की प्रमेय) के साथ एक अभिसरण श्रृंखला प्राप्त कर सकता है।

इसलिए, श्रृंखला पर संचालन उनके पूर्ण अभिसरण को सुनिश्चित किए बिना नहीं किया जा सकता है। पूर्ण अभिसरण स्थापित करने के लिए, सकारात्मक शब्दों के साथ संख्या श्रृंखला के अभिसरण के सभी संकेतों का उपयोग किया जाता है, सामान्य शब्द को हर जगह इसके मॉड्यूल के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण 2.1. .

समाधान।मूल श्रृंखला वैकल्पिक है. आइए हम किसी दी गई श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मानों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें, अर्थात। पंक्ति . चूँकि, तब एक समान श्रृंखला के पद डिरिचलेट श्रृंखला के पदों से बड़े नहीं होते हैं , जो अभिसरण के लिए जाना जाता है। इसलिए, तुलना की कसौटी के आधार पर, यह श्रृंखला बिल्कुल मेल खाती है। ,

उदाहरण 2.2.अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें.

समाधान।

2) निरपेक्ष पदों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें। हम डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके अभिसरण के लिए इसकी जांच करते हैं

डी'एलेम्बर्ट की कसौटी के अनुसार, निरपेक्ष शब्दों से बनी एक श्रृंखला अभिसरण करती है। इसका मतलब यह है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है। ,

उदाहरण 2.3.अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें .

समाधान। 1) यह पंक्ति बारी-बारी से है। हम लीबनिज़ की कसौटी का उपयोग करते हैं। आइए देखें कि शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं।

इसलिए, मूल श्रृंखला अभिसरण करती है।

2) निरपेक्ष पदों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें। हम सीमित तुलना परीक्षण का उपयोग करके अभिसरण के लिए इसकी जांच करते हैं। एक हार्मोनिक श्रृंखला पर विचार करें जो विचलन करती है।

नतीजतन, दोनों श्रृंखलाएं समान व्यवहार करती हैं, यानी। निरपेक्ष पदों से बनी श्रृंखला भी भिन्न होती है। इसका मतलब यह है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है। ,