पेंडुलम ऊर्जा. पेंडुलम की दोलनशील गतियाँ। गणितीय पेंडुलम की चक्रीय आवृत्ति और दोलन की अवधि

एक लोचदार बल की कार्रवाई के तहत निकाय, जिसकी संभावित ऊर्जा संतुलन स्थिति से शरीर के विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है:

मुक्त यांत्रिक कंपन के साथ, गतिज और स्थितिज ऊर्जाएँ समय-समय पर बदलती रहती हैं। संतुलन स्थिति से शरीर के अधिकतम विचलन पर, इसकी गति, और इसलिए गतिज ऊर्जाशून्य पर जाओ. इस स्थिति में, दोलनशील पिंड की स्थितिज ऊर्जा अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाती है। क्षैतिज स्प्रिंग पर भार के लिए स्थितिज ऊर्जा ही ऊर्जा है लोचदार विकृतियाँस्प्रिंग्स.

जब कोई पिंड अपनी गति में संतुलन की स्थिति से गुजरता है, तो उसकी गति अधिकतम होती है। इस समय इसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम और स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है। स्थितिज ऊर्जा में कमी के कारण गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है। आगे की गति के साथ, गतिज ऊर्जा में कमी आदि के कारण स्थितिज ऊर्जा बढ़ने लगती है।

इस प्रकार, हार्मोनिक दोलनों के दौरान, गतिज ऊर्जा का संभावित ऊर्जा में आवधिक परिवर्तन होता है और इसके विपरीत।

यदि दोलन प्रणाली में कोई घर्षण नहीं है, तो मुक्त दोलन के दौरान कुल यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

वसंत वजन के लिए:

स्टार्ट बटन का उपयोग करके शरीर की दोलन गति शुरू की जाती है। स्टॉप बटन आपको किसी भी समय प्रक्रिया को रोकने की अनुमति देता है।

किसी भी समय दोलन के दौरान स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं के बीच संबंध को ग्राफिक रूप से दिखाया गया है। ध्यान दें कि भिगोना की अनुपस्थिति में, दोलन प्रणाली की कुल ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है, संभावित ऊर्जा अधिकतम तक पहुंच जाती है जब शरीर अधिकतम संतुलन स्थिति से विक्षेपित होता है, और गतिज ऊर्जा अधिकतम मूल्य लेती है जब शरीर संतुलन से गुजरता है पद।

दुहराव

कुल यांत्रिक ऊर्जाशरीर

\(W=W_(k) +W_(p1) +W_(p2), \; \; \; W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2) )(2), \; \ ; \; W_(p1) =m\cdot g\cdot h, \; \;

कहाँ सप्त- शरीर की गतिज ऊर्जा इस पलसमय (गति की ऊर्जा), एम- शरीर का द्रव्यमान, υ - एक निश्चित समय पर शरीर की गति का मान, डब्ल्यू पी 1 - ऊंचाई तक उठाए गए किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा एच, किसी निश्चित समय पर (इंटरैक्शन ऊर्जा), एच- एक निश्चित समय पर शरीर की ऊंचाई, डब्ल्यू पी 2 - एक निश्चित समय पर विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा, Δ एल- एक निश्चित समय पर शरीर का पूर्ण बढ़ाव।

यदि किसी बंद प्रणाली में कोई बाहरी बल नहीं हैं (उदाहरण के लिए, घर्षण बल), तो बंद प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।

गणित पेंडुलम

आइए गणितीय पेंडुलम के दोलनों के दौरान ऊर्जा के परिवर्तनों पर विचार करें। आइए एक संदर्भ फ्रेम इस प्रकार चुनें कि संतुलन स्थिति में इसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य के बराबर हो।

जब एक गणितीय पेंडुलम दोलन करता है, तो ऊंचाई बदल जाती है एचसंतुलन स्थिति और उसकी गति के सापेक्ष वजन बदलता है (चित्र 1)। इसके अलावा, अधिकतम विस्थापन पर, ऊंचाई अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाती है एचअधिकतम, और गति शून्य के बराबर हो जाती है, संतुलन स्थिति में यह दूसरा तरीका है: शरीर की ऊंचाई शून्य है, और गति अधिकतम मूल्य υ अधिकतम तक पहुंच जाती है।

चूँकि किसी पिंड की ऊँचाई उसकी स्थितिज ऊर्जा निर्धारित करती है Wp\(\left(W_(p) =m\cdot g\cdot h\right),\) और गति गतिज ऊर्जा है सप्त\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\) तो ऊंचाई और गति में परिवर्तन के साथ-साथ ऊर्जा भी बदल जाएगी।

तालिका में पदनाम:

\(W_(p\; \max ) = m\cdot g\cdot h_(\max ), \; \; \; W_(p2) =m\cdot g\cdot h_(2), \; \; \ ;W_(p4) =m\cdot g\cdot h_(4), \; \;

मेक्स-majat-2-01.swfचावल। 3 फ़्लैश बढ़ाएँ

स्प्रिंग पेंडुलम

आइए क्षैतिज स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन के दौरान ऊर्जा परिवर्तनों पर विचार करें। आइए एक संदर्भ फ्रेम इस प्रकार चुनें कि संतुलन स्थिति में इसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य के बराबर हो।

जब एक स्प्रिंग पेंडुलम दोलन करता है, तो स्प्रिंग का पूर्ण बढ़ाव बदल जाता है एलसंतुलन स्थिति के सापेक्ष (अर्थात भार का विस्थापन बदल जाता है एक्स = Δ एल) और वजन की गति υ बदल जाती है (चित्र 3)। इसके अलावा, अधिकतम विस्थापन पर, पूर्ण बढ़ाव अधिकतम मान तक पहुँच जाता है एलअधिकतम, और गति शून्य के बराबर हो जाती है, संतुलन स्थिति में यह दूसरा तरीका है: पूर्ण बढ़ाव शून्य है, और गति अधिकतम मान υ अधिकतम तक पहुंच जाती है।

चूँकि किसी स्प्रिंग का पूर्ण बढ़ाव उसकी स्थितिज ऊर्जा निर्धारित करता है Wp\(\left(W_(p) =\frac(k\cdot \Delta l^(2))(2) \right),\) और गति गतिज ऊर्जा है सप्त\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\) तो, पूर्ण बढ़ाव और गति में बदलाव के साथ-साथ, ऊर्जाएं भी बदल जाएंगी .

तालिका में पदनाम:

\(W_(p\; \max ) =\frac(k\cdot x_(\max )^(2) )(2), \;\;\; W_(p2) =\frac(k\cdot x_( 2)^(2) )(2), \;\;\; W_(p4) =\frac(k\cdot x_(4)^(2) )(2), \;\;\ ) =\ frac(k\cdot x_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(k\; \max ) =\frac(m\cdot \upsilon _(\max )^(2) )(2), \; \; \; W_(k2) =\frac(m\cdot \upsilon _(2)^(2) )(2), \; W_(k4) =\frac(m\cdot \upsilon _(4)^(2) \; ; \; W_(k6) =\frac (m\cdot \upsilon _(6)^(2) )(2).\)

कुल ऊर्जापेंडुलम समय के साथ बना रहता है क्योंकि कोई घर्षण बल नहीं होता है। तब

\(W=W_(k\, \max ) = W_(p\, \max ) = W_(k2) + W_(p2) = W_(k4) +W_(p4) = ...\)

मेक्स-majat-2-02.swfचावल। 5 फ़्लैश बढ़ाएँ

यदि के लिए ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग पेंडुलमएक संदर्भ फ्रेम इस प्रकार चुनें कि संतुलन स्थिति में इसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य के बराबर हो, फिर एक क्षैतिज पेंडुलम के लिए ऊपर वर्णित सभी चीजें इस पेंडुलम पर लागू की जा सकती हैं।

साहित्य

1. ज़िल्को, वी.वी. भौतिकी: पाठ्यपुस्तक। 11वीं कक्षा की सामान्य शिक्षा के लिए मैनुअल। विद्यालय रूसी से भाषा प्रशिक्षण / वी.वी. ज़िल्को, एल.जी. - मिन्स्क: नर। अस्वेता, 2009. - पीपी. 19-21.

चित्र में दिखाए गए पेंडुलम। 2, विस्तारित निकायों का प्रतिनिधित्व करते हैं विभिन्न आकारऔर आकार, निलंबन या समर्थन के बिंदु के चारों ओर दोलन करते हुए। ऐसी प्रणालियों को भौतिक पेंडुलम कहा जाता है। संतुलन की स्थिति में, जब गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निलंबन (या समर्थन) के बिंदु के नीचे ऊर्ध्वाधर पर होता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल समर्थन की प्रतिक्रिया से (विकृत पेंडुलम के लोचदार बलों के माध्यम से) संतुलित होता है। संतुलन स्थिति से विचलित होने पर, गुरुत्वाकर्षण और लोचदार बल समय के प्रत्येक क्षण में पेंडुलम के कोणीय त्वरण को निर्धारित करते हैं, यानी, वे इसके आंदोलन (दोलन) की प्रकृति निर्धारित करते हैं। अब हम तथाकथित गणितीय पेंडुलम के सबसे सरल उदाहरण का उपयोग करके दोलनों की गतिशीलता को अधिक विस्तार से देखेंगे, जो एक लंबे पतले धागे पर लटका हुआ एक छोटा वजन है।

एक गणितीय पेंडुलम में, हम धागे के द्रव्यमान और वजन के विरूपण की उपेक्षा कर सकते हैं, यानी हम मान सकते हैं कि पेंडुलम का द्रव्यमान वजन में केंद्रित है, और लोचदार बल धागे में केंद्रित हैं, जिसे अवितरित माना जाता है . आइए अब देखें कि हमारा पेंडुलम किसी तरह से अपनी संतुलन स्थिति (धक्का, विक्षेपण) से हटने के बाद किस बल के तहत दोलन करता है।

जब पेंडुलम संतुलन की स्थिति में आराम पर होता है, तो उसके वजन पर काम करने वाला और लंबवत नीचे की ओर निर्देशित गुरुत्वाकर्षण बल धागे के तनाव बल द्वारा संतुलित होता है। विक्षेपित स्थिति में (चित्र 15), गुरुत्वाकर्षण बल धागे के साथ निर्देशित तनाव बल के कोण पर कार्य करता है। आइए गुरुत्वाकर्षण बल को दो घटकों में विभाजित करें: धागे की दिशा में () और उसके लंबवत ()। जब पेंडुलम दोलन करता है, तो धागे का तनाव बल घटक से थोड़ा अधिक होता है - सेंट्रिपेटल बल की मात्रा से, जो भार को एक चाप में स्थानांतरित करने के लिए मजबूर करता है। घटक हमेशा संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है; वह इस स्थिति को बहाल करने का प्रयास करती दिख रही है। इसलिए, इसे अक्सर पुनर्स्थापन बल कहा जाता है। पेंडुलम जितना अधिक विक्षेपित होता है, परिमाण उतना ही अधिक होता है।

चावल। 15. जब पेंडुलम संतुलन स्थिति से विचलित हो जाता है तो बल बहाल करना

इसलिए, जैसे ही पेंडुलम, अपने दोलन के दौरान, संतुलन की स्थिति से, मान लीजिए, दाईं ओर विचलित होने लगता है, एक बल प्रकट होता है, जो उसकी गति को जितना अधिक धीमा करता है, वह उतना ही अधिक विचलित होता है। अंततः, यह बल उसे रोक देगा और उसे वापस संतुलन की स्थिति में खींच लेगा। हालाँकि, जैसे-जैसे हम इस स्थिति के करीब पहुँचेंगे, बल कम होता जाएगा और संतुलन स्थिति में स्वयं शून्य हो जाएगा। इस प्रकार, पेंडुलम जड़त्व द्वारा संतुलन स्थिति से गुजरता है। जैसे ही यह बायीं ओर विचलित होना शुरू होता है, एक बल फिर से प्रकट होगा, बढ़ते विचलन के साथ बढ़ रहा है, लेकिन अब दाईं ओर निर्देशित है। बाईं ओर की गति फिर से धीमी हो जाएगी, फिर पेंडुलम एक पल के लिए रुक जाएगा, जिसके बाद यह शुरू हो जाएगा त्वरित गतिदाईं ओर, आदि

जब पेंडुलम दोलन करता है तो उसकी ऊर्जा का क्या होता है?

अवधि के दौरान दो बार - बाईं ओर और दाईं ओर सबसे बड़े विचलन पर - पेंडुलम रुक जाता है, यानी इन क्षणों में गति शून्य होती है, जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा भी शून्य होती है। लेकिन यह ठीक इन्हीं क्षणों में होता है जब पेंडुलम का गुरुत्वाकर्षण केंद्र अपनी सबसे बड़ी ऊंचाई तक उठा होता है और इसलिए, संभावित ऊर्जा सबसे बड़ी होती है। इसके विपरीत, संतुलन स्थिति से गुजरने के क्षणों में, संभावित ऊर्जा सबसे कम होती है, और गति और गतिज ऊर्जा अपने उच्चतम मूल्यों तक पहुंच जाती है।

हम मान लेंगे कि हवा के विरुद्ध पेंडुलम के घर्षण बल और निलंबन बिंदु पर घर्षण को नजरअंदाज किया जा सकता है। फिर, ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, यह अधिकतम गतिज ऊर्जा संतुलन स्थिति में संभावित ऊर्जा से सबसे बड़े विचलन की स्थिति में संभावित ऊर्जा की अधिकता के बिल्कुल बराबर है।

इसलिए, जब पेंडुलम दोलन करता है, तो गतिज ऊर्जा का संभावित ऊर्जा में एक आवधिक संक्रमण होता है और इसके विपरीत, और इस प्रक्रिया की अवधि पेंडुलम के दोलन की अवधि से आधी होती है। हालाँकि, पेंडुलम की कुल ऊर्जा (संभावित और गतिज ऊर्जा का योग) हर समय स्थिर रहती है। यह उस ऊर्जा के बराबर है जो लॉन्च के समय पेंडुलम को प्रदान की गई थी, चाहे वह संभावित ऊर्जा (प्रारंभिक विक्षेपण) के रूप में हो या गतिज ऊर्जा (प्रारंभिक धक्का) के रूप में हो।

घर्षण या किसी अन्य प्रक्रिया की अनुपस्थिति में किसी भी दोलन के मामले में यही स्थिति है जो दोलन प्रणाली से ऊर्जा को दूर ले जाती है या उसे ऊर्जा प्रदान करती है। इसीलिए आयाम अपरिवर्तित रहता है और धक्का के प्रारंभिक विक्षेपण या बल द्वारा निर्धारित होता है।

यदि गेंद को धागे पर लटकाने के बजाय, हम इसे एक गोलाकार कप में एक ऊर्ध्वाधर विमान में या एक परिधि के साथ घुमावदार खांचे में घुमाते हैं, तो हमें पुनर्स्थापना बल में समान परिवर्तन और समान ऊर्जा हस्तांतरण मिलेगा। इस मामले में, धागे के तनाव की भूमिका कप या गटर की दीवारों के दबाव द्वारा ले ली जाएगी (हम फिर से दीवारों और हवा के खिलाफ गेंद के घर्षण की उपेक्षा करते हैं)।

एक यांत्रिक प्रणाली जिसमें एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक अविभाज्य भारहीन धागे (इसका द्रव्यमान शरीर के वजन की तुलना में नगण्य है) पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु (शरीर) होता है, गणितीय पेंडुलम कहा जाता है (दूसरा नाम एक थरथरानवाला है)। इस उपकरण के अन्य प्रकार भी हैं। धागे के स्थान पर भारहीन छड़ का प्रयोग किया जा सकता है। एक गणितीय पेंडुलम कई दिलचस्प घटनाओं का सार स्पष्ट रूप से प्रकट कर सकता है। जब कंपन का आयाम छोटा होता है, तो इसकी गति को हार्मोनिक कहा जाता है।

यांत्रिक प्रणाली अवलोकन

इस पेंडुलम के दोलन की अवधि का सूत्र डच वैज्ञानिक ह्यूजेन्स (1629-1695) द्वारा निकाला गया था। आई. न्यूटन के समकालीन इस यांत्रिक प्रणाली में बहुत रुचि रखते थे। 1656 में उन्होंने पेंडुलम तंत्र वाली पहली घड़ी बनाई। उन्होंने उस समय के लिए असाधारण सटीकता के साथ समय को मापा। ये हुआ आविष्कार सबसे महत्वपूर्ण चरणभौतिक प्रयोगों और व्यावहारिक गतिविधियों के विकास में।

यदि पेंडुलम संतुलन की स्थिति में है (ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है), तो यह धागे के तनाव बल द्वारा संतुलित किया जाएगा। एक अवितानीय धागे पर एक सपाट पेंडुलम युग्मन के साथ स्वतंत्रता की दो डिग्री वाली एक प्रणाली है। जब आप केवल एक घटक बदलते हैं, तो उसके सभी भागों की विशेषताएँ बदल जाती हैं। इसलिए, यदि धागे को रॉड से बदल दिया जाए, तो इस यांत्रिक प्रणाली में केवल 1 डिग्री की स्वतंत्रता होगी। गणितीय पेंडुलम में क्या गुण होते हैं? इस सरलतम प्रणाली में, आवधिक गड़बड़ी के प्रभाव में अराजकता उत्पन्न होती है। ऐसे मामले में जब निलंबन बिंदु हिलता नहीं है, बल्कि दोलन करता है, पेंडुलम की एक नई संतुलन स्थिति होती है। तेजी से ऊपर और नीचे दोलनों के साथ, यह यांत्रिक प्रणाली एक स्थिर "उल्टा" स्थिति प्राप्त कर लेती है। इसका अपना नाम भी है. इसे कपित्सा पेंडुलम कहा जाता है।

पेंडुलम के गुण

गणितीय पेंडुलम में बहुत कुछ है दिलचस्प गुण. इन सभी की पुष्टि ज्ञात भौतिक नियमों द्वारा की जाती है। किसी भी अन्य पेंडुलम के दोलन की अवधि विभिन्न परिस्थितियों पर निर्भर करती है, जैसे पिंड का आकार और आकार, निलंबन बिंदु और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बीच की दूरी और इस बिंदु के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण। यही कारण है कि शव को लटकाने की अवधि निर्धारित करना काफी है चुनौतीपूर्ण कार्य. गणितीय पेंडुलम की अवधि की गणना करना बहुत आसान है, जिसका सूत्र नीचे दिया जाएगा। समान यांत्रिक प्रणालियों के अवलोकन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित पैटर्न स्थापित किए जा सकते हैं:

अगर, रखते हुए एक ही लंबाईपेंडुलम, अलग-अलग भारों को निलंबित करें, तो उनके दोलन की अवधि समान होगी, हालांकि उनके द्रव्यमान में काफी भिन्नता होगी। नतीजतन, ऐसे पेंडुलम की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

यदि, सिस्टम शुरू करते समय, पेंडुलम बहुत बड़ा नहीं, बल्कि विक्षेपित होता है विभिन्न कोण, फिर यह उसी अवधि के साथ, लेकिन विभिन्न आयामों के साथ दोलन करना शुरू कर देगा। जब तक संतुलन के केंद्र से विचलन बहुत बड़े नहीं होते, तब तक उनके रूप में कंपन हार्मोनिक के काफी करीब होंगे। ऐसे पेंडुलम की अवधि किसी भी तरह से दोलन आयाम पर निर्भर नहीं करती है। किसी दिए गए यांत्रिक प्रणाली की इस संपत्ति को आइसोक्रोनिज़्म कहा जाता है (ग्रीक से अनुवादित "क्रोनोस" - समय, "आइसोस" - बराबर)।

गणितीय पेंडुलम की अवधि

यह सूचक प्राकृतिक दोलनों की अवधि को दर्शाता है। जटिल सूत्रीकरण के बावजूद, यह प्रक्रिया स्वयं बहुत सरल है। यदि गणितीय पेंडुलम के धागे की लंबाई L है, और त्वरण निर्बाध गिरावटजी, तो यह मान इसके बराबर है:

छोटे की अवधि किसी भी तरह से पेंडुलम के द्रव्यमान और दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस मामले में, पेंडुलम कम लंबाई के साथ गणितीय रूप में चलता है।

गणितीय लोलक का दोलन

एक गणितीय पेंडुलम दोलन करता है, जिसे एक साधारण अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

x + ω2 पाप x = 0,

जहां x (t) एक अज्ञात फलन है (यह क्षण t पर निचली संतुलन स्थिति से विचलन का कोण है, जिसे रेडियन में व्यक्त किया गया है); ω एक सकारात्मक स्थिरांक है, जो पेंडुलम के मापदंडों से निर्धारित होता है (ω = √g/L, जहां g गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है, और L गणितीय पेंडुलम (निलंबन) की लंबाई है।

संतुलन स्थिति (हार्मोनिक समीकरण) के पास छोटे कंपन के लिए समीकरण इस तरह दिखता है:

x + ω2 पाप x = 0

पेंडुलम की दोलनशील गतियाँ

एक गणितीय पेंडुलम, जो छोटे दोलन करता है, एक साइनसॉइड के साथ चलता है। दूसरे क्रम का अंतर समीकरण ऐसे आंदोलन की सभी आवश्यकताओं और मापदंडों को पूरा करता है। प्रक्षेपवक्र निर्धारित करने के लिए, गति और समन्वय निर्धारित करना आवश्यक है, जिससे स्वतंत्र स्थिरांक निर्धारित होते हैं:

x = एक पाप (θ 0 + ωt),

जहां θ 0 प्रारंभिक चरण है, ए दोलन आयाम है, ω गति के समीकरण से निर्धारित चक्रीय आवृत्ति है।

गणितीय पेंडुलम (बड़े आयामों के लिए सूत्र)

यह यांत्रिक प्रणाली, जो एक महत्वपूर्ण आयाम के साथ दोलन करती है, अधिक आज्ञापालन करती है जटिल कानूनआंदोलनों. ऐसे पेंडुलम के लिए उनकी गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

पाप x/2 = u * sn(ωt/u),

जहां एस जैकोबी साइन है, जो आपके लिए है< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

यू = (ε + ω2)/2ω2,

जहाँ ε = E/mL2 (mL2 लोलक की ऊर्जा है)।

एक अरैखिक पेंडुलम के दोलन की अवधि सूत्र का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:

जहां Ω = π/2 * ω/2K(u), K अण्डाकार समाकलन है, π - 3,14.

एक विभाजक के साथ एक पेंडुलम की गति

एक सेपरेट्रिक्स एक गतिशील प्रणाली का प्रक्षेपवक्र है जिसमें द्वि-आयामी चरण स्थान होता है। एक गणितीय पेंडुलम गैर-आवधिक रूप से इसके साथ चलता है। समय में एक अनंत दूर के क्षण में, यह अपनी उच्चतम स्थिति से शून्य गति के साथ गिरता है, फिर धीरे-धीरे इसे प्राप्त करता है। अंततः यह रुक जाता है, अपनी मूल स्थिति में लौट आता है।

यदि पेंडुलम के दोलनों का आयाम संख्या के करीब पहुंचता है π , यह इंगित करता है कि चरण तल पर गति विभाजक के निकट आ रही है। इस मामले में, एक छोटे ड्राइविंग आवधिक बल के प्रभाव में, यांत्रिक प्रणाली अराजक व्यवहार प्रदर्शित करती है।

जब एक गणितीय पेंडुलम एक निश्चित कोण φ के साथ संतुलन स्थिति से विचलित होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का एक स्पर्शरेखा बल Fτ = -mg पाप φ उत्पन्न होता है। ऋण चिह्न का अर्थ है कि यह स्पर्शरेखा घटक पेंडुलम के विक्षेपण के विपरीत दिशा में निर्देशित है। जब त्रिज्या L के साथ एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश पेंडुलम के विस्थापन को x से निरूपित किया जाता है, तो इसका कोणीय विस्थापन φ = x/L के बराबर होता है। प्रक्षेपण और बल के लिए अभिप्रेत दूसरा नियम, वांछित मूल्य देगा:

mg τ = Fτ = -mg पाप x/L

इस संबंध के आधार पर, यह स्पष्ट है कि यह पेंडुलम एक अरैखिक प्रणाली है, क्योंकि जो बल इसे संतुलन स्थिति में लौटाता है वह हमेशा विस्थापन x के नहीं, बल्कि पाप x/L के समानुपाती होता है।

केवल जब एक गणितीय पेंडुलम छोटे दोलन करता है तो यह एक हार्मोनिक थरथरानवाला होता है। दूसरे शब्दों में, यह एक यांत्रिक प्रणाली बन जाती है जो हार्मोनिक दोलन करने में सक्षम होती है। यह सन्निकटन 15-20° के कोणों के लिए व्यावहारिक रूप से मान्य है। बड़े आयाम वाले पेंडुलम के दोलन हार्मोनिक नहीं होते हैं।

पेंडुलम के छोटे दोलनों के लिए न्यूटन का नियम

यदि कोई दी गई यांत्रिक प्रणाली छोटे दोलन करती है, तो न्यूटन का दूसरा नियम इस तरह दिखेगा:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

इसके आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक गणितीय पेंडुलम ऋण चिह्न के साथ अपने विस्थापन के समानुपाती होता है। यह वह स्थिति है जिसके कारण सिस्टम एक हार्मोनिक ऑसिलेटर बन जाता है। विस्थापन और त्वरण के बीच आनुपातिकता गुणांक का मापांक वृत्ताकार आवृत्ति के वर्ग के बराबर होता है:

ω02 = जी/एल; ω0 = √ जी/एल.

यह सूत्र इस प्रकार के पेंडुलम के छोटे दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति को दर्शाता है। इस पर आधारित,

टी = 2π/ ω0 = 2π√ जी/एल.

ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित गणना

ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके पेंडुलम के गुणों का भी वर्णन किया जा सकता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पेंडुलम बराबर है:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

कुल गतिज या अधिकतम क्षमता के बराबर है: एपमैक्स = एकएमएसएक्स = ई

ऊर्जा संरक्षण का नियम लिखे जाने के बाद, समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों का व्युत्पन्न लें:

चूँकि स्थिर मात्राओं का अवकलज 0 के बराबर होता है, तो (Ep + Ek)" = 0. योग का अवकलज अवकलजों के योग के बराबर होता है:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + एक" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

इस तरह:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

अंतिम सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं: α = - g/L*x।

गणितीय पेंडुलम का व्यावहारिक अनुप्रयोग

त्वरण अक्षांश के साथ बदलता रहता है क्योंकि पृथ्वी की पपड़ी का घनत्व पूरे ग्रह में समान नहीं है। जहां अधिक घनत्व वाली चट्टानें होती हैं, वहां यह थोड़ी ऊंची होगी। गणितीय पेंडुलम के त्वरण का उपयोग अक्सर भूवैज्ञानिक अन्वेषण के लिए किया जाता है। इसका उपयोग विभिन्न खनिजों की खोज के लिए किया जाता है। बस एक पेंडुलम के दोलनों की संख्या की गणना करके, कोई पृथ्वी के आंत्र में कोयले या अयस्क का पता लगा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे जीवाश्मों का घनत्व और द्रव्यमान अंतर्निहित ढीली चट्टानों से अधिक होता है।

गणितीय पेंडुलम का उपयोग सुकरात, अरस्तू, प्लेटो, प्लूटार्क, आर्किमिडीज़ जैसे उत्कृष्ट वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था। उनमें से कई का मानना ​​था कि यह यांत्रिक प्रणाली किसी व्यक्ति के भाग्य और जीवन को प्रभावित कर सकती है। आर्किमिडीज़ ने अपनी गणनाओं में गणितीय पेंडुलम का उपयोग किया। आजकल, कई तांत्रिक और मनोविज्ञानी अपनी भविष्यवाणियों को पूरा करने या लापता लोगों की खोज के लिए इस यांत्रिक प्रणाली का उपयोग करते हैं।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी खगोलशास्त्री और प्रकृतिवादी के. फ्लेमरियन ने भी अपने शोध के लिए गणितीय पेंडुलम का उपयोग किया था। उन्होंने दावा किया कि इसकी मदद से वह खोज की भविष्यवाणी करने में सक्षम थे नया ग्रह, तुंगुस्का उल्कापिंड और अन्य की उपस्थिति महत्वपूर्ण घटनाएँ. द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान, जर्मनी (बर्लिन) में एक विशेष पेंडुलम संस्थान संचालित हुआ। आजकल म्यूनिख इंस्टीट्यूट ऑफ पैरासाइकोलॉजी इसी तरह के शोध में लगा हुआ है। इस प्रतिष्ठान के कर्मचारी पेंडुलम के साथ अपने काम को "रेडिएस्थेसिया" कहते हैं।

10.4. हार्मोनिक दोलनों के दौरान ऊर्जा संरक्षण का नियम

10.4.1. ऊर्जा संरक्षण पर यांत्रिक हार्मोनिक कंपन

गणितीय पेंडुलम के दोलन के दौरान ऊर्जा का संरक्षण

हार्मोनिक कंपन के दौरान, सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित (स्थिर रहती है) होती है।

गणितीय पेंडुलम की कुल यांत्रिक ऊर्जा

ई = डब्ल्यू के + डब्ल्यू पी,

जहाँ W k गतिज ऊर्जा है, W k = = mv 2 /2; डब्ल्यू पी - संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = एमजीएच; मी भार का द्रव्यमान है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मॉड्यूल; वी - लोड गति मॉड्यूल; h संतुलन स्थिति से ऊपर भार की ऊंचाई है (चित्र 10.15)।

हार्मोनिक दोलनों के दौरान, एक गणितीय पेंडुलम कई क्रमिक अवस्थाओं से गुजरता है, इसलिए गणितीय पेंडुलम की ऊर्जा को तीन स्थितियों में मानने की सलाह दी जाती है (चित्र 10.15 देखें):

चावल। 10.15

में 1 संतुलन स्थिति

संभावित ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा से मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू के अधिकतम;

2) में आपातकालीन स्थिति(2) शरीर को प्रारंभिक स्तर से ऊपर उठाया जाता है ज्यादा से ज्यादा ऊंचाई h अधिकतम, इसलिए स्थितिज ऊर्जा भी अधिकतम है:

डब्ल्यू पी मैक्स = एम जी एच मैक्स;

गतिज ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम स्थितिज ऊर्जा से मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू पी अधिकतम;

3) में मध्यवर्ती स्थिति(3) शरीर की तात्कालिक गति v है और इसे प्रारंभिक स्तर से ऊपर एक निश्चित ऊंचाई h तक उठाया गया है, इसलिए कुल ऊर्जा का योग है

ई = एम वी 2 2 + एम जी एच ,

जहाँ mv 2/2 गतिज ऊर्जा है; एमजीएच - संभावित ऊर्जा; मी भार का द्रव्यमान है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मॉड्यूल; वी - लोड गति मॉड्यूल; एच - संतुलन स्थिति से ऊपर भार उठाने की ऊंचाई।

गणितीय पेंडुलम के हार्मोनिक दोलनों के दौरान, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है:

ई = स्थिरांक.

गणितीय लोलक की तीन स्थितियों में कुल ऊर्जा का मान तालिका में परिलक्षित होता है। 10.1.

पूर्ण मान मेकेनिकल ऊर्जा, तालिका के अंतिम कॉलम में प्रस्तुत किया गया है। 10.1, पेंडुलम की किसी भी स्थिति के लिए समान मान हैं, जो एक गणितीय अभिव्यक्ति है:

एम वी अधिकतम 2 2 = एम जी एच अधिकतम;

एम वी अधिकतम 2 2 = एम वी 2 2 + एम जी एच ;

एम जी एच अधिकतम = एम वी 2 2 + एम जी एच ,

जहाँ m भार का द्रव्यमान है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मॉड्यूल; v स्थिति 3 में लोड की तात्कालिक गति का मॉड्यूल है; एच - स्थिति 3 में संतुलन स्थिति से ऊपर भार उठाने की ऊंचाई; वी मैक्स - स्थिति 1 में लोड की अधिकतम गति का मॉड्यूल; एच अधिकतम - स्थिति 2 में संतुलन स्थिति से ऊपर भार उठाने की अधिकतम ऊंचाई।

धागा विक्षेपण कोणऊर्ध्वाधर से गणितीय पेंडुलम (चित्र 10.15) अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

cos α = l - hl = 1 - hl,

जहाँ l धागे की लंबाई है; एच - संतुलन स्थिति से ऊपर भार उठाने की ऊंचाई।

अधिकतम कोणविचलन α अधिकतम संतुलन स्थिति h अधिकतम से ऊपर भार उठाने की अधिकतम ऊंचाई से निर्धारित होता है:

क्योंकि α अधिकतम = 1 - एच अधिकतम एल।

उदाहरण 11. एक गणितीय लोलक के छोटे दोलनों की अवधि 0.9 s है। अधिकतम कोण क्या है जिस पर धागा ऊर्ध्वाधर से विचलित होगा यदि, संतुलन स्थिति से गुजरते हुए, गेंद 1.5 मीटर/सेकेंड की गति से चलती है? सिस्टम में कोई घर्षण नहीं है.

समाधान । यह चित्र गणितीय पेंडुलम की दो स्थितियों को दर्शाता है:

• संतुलन स्थिति 1 (गेंद की अधिकतम गति वी मैक्स द्वारा विशेषता);
• चरम स्थिति 2 (संतुलन स्थिति से ऊपर गेंद की अधिकतम उठाने की ऊँचाई h अधिकतम द्वारा विशेषता)।

आवश्यक कोण समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

क्योंकि α अधिकतम = एल - एच अधिकतम एल = 1 - एच अधिकतम एल,

जहाँ l लोलक धागे की लंबाई है।

हम कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम से संतुलन स्थिति के ऊपर पेंडुलम गेंद की अधिकतम ऊंचाई पाते हैं।

संतुलन स्थिति और चरम स्थिति में पेंडुलम की कुल ऊर्जा निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

• संतुलन की स्थिति में -

ई 1 = एम वी अधिकतम 2 2,

जहाँ m लोलक की गेंद का द्रव्यमान है; वी मैक्स - संतुलन स्थिति (अधिकतम गति) में गेंद के वेग का मॉड्यूल, वी मैक्स = 1.5 मीटर/सेकेंड;

• चरम स्थिति में -

ई 2 = एमजीएच अधिकतम,

जहां g गुरुत्वाकर्षण त्वरण मॉड्यूल है; एच मैक्स संतुलन स्थिति से ऊपर उठने वाली गेंद की अधिकतम ऊंचाई है।

कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:

एम वी अधिकतम 2 2 = एम जी एच अधिकतम।

आइए हम यहां से गेंद की संतुलन स्थिति से ऊपर उठने की अधिकतम ऊंचाई को व्यक्त करें:

एच अधिकतम = वी अधिकतम 2 2 ग्राम।

हम गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि के सूत्र से धागे की लंबाई निर्धारित करते हैं

टी = 2 π एल जी ,

वे। धागे की लंबाई

एल = टी 2 जी 4 π 2।

आइए वांछित कोण की कोज्या के व्यंजक में h max और l को प्रतिस्थापित करें:

cos α अधिकतम = 1 - 2 π 2 v अधिकतम 2 g 2 T 2

और अनुमानित समानता π 2 = 10 को ध्यान में रखते हुए गणना करें:

cos α अधिकतम = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अधिकतम विक्षेपण कोण 60° है।

कड़ाई से बोलते हुए, 60° के कोण पर गेंद का दोलन छोटा नहीं होता है और गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि के लिए मानक सूत्र का उपयोग करना गैरकानूनी है।

स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन के दौरान ऊर्जा का संरक्षण

स्प्रिंग पेंडुलम की कुल यांत्रिक ऊर्जागतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा से मिलकर बनता है:

ई = डब्ल्यू के + डब्ल्यू पी,

जहाँ W k गतिज ऊर्जा है, W k = mv 2 /2; डब्ल्यू पी - संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = के (Δx ) 2 /2; मी भार का द्रव्यमान है; वी - लोड गति मॉड्यूल; k स्प्रिंग की कठोरता (लोच) गुणांक है; Δx - स्प्रिंग का विरूपण (तनाव या संपीड़न) (चित्र 10.16)।

में अंतर्राष्ट्रीय व्यवस्थाइकाइयों, एक यांत्रिक दोलन प्रणाली की ऊर्जा जूल (1 जे) में मापी जाती है।

हार्मोनिक दोलनों के दौरान, स्प्रिंग पेंडुलम कई क्रमिक अवस्थाओं से गुजरता है, इसलिए स्प्रिंग पेंडुलम की ऊर्जा को तीन स्थितियों में मानने की सलाह दी जाती है (चित्र 10.16 देखें):

में 1 संतुलन स्थिति(1) शरीर की गति का अधिकतम मान v अधिकतम होता है, इसलिए गतिज ऊर्जा भी अधिकतम होती है:

डब्ल्यू के अधिकतम = एम वी अधिकतम 2 2 ;

स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा शून्य है, क्योंकि स्प्रिंग विकृत नहीं है; कुल ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा से मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू के अधिकतम;

2) में आपातकालीन स्थिति(2) स्प्रिंग में अधिकतम विरूपण (Δx अधिकतम) होता है, इसलिए संभावित ऊर्जा का भी अधिकतम मूल्य होता है:

डब्ल्यू पी मैक्स = के (Δ एक्स मैक्स) 2 2 ;

शरीर की गतिज ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम स्थितिज ऊर्जा से मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू पी अधिकतम;

3) में मध्यवर्ती स्थिति(3) शरीर की तात्कालिक गति v है, इस क्षण में स्प्रिंग में कुछ विकृति है (Δx), इसलिए कुल ऊर्जा का योग है

ई = एम वी 2 2 + के (Δ एक्स) 2 2 ,

जहाँ mv 2/2 गतिज ऊर्जा है; k (Δx) 2 /2 - स्थितिज ऊर्जा; मी भार का द्रव्यमान है; वी - लोड गति मॉड्यूल; k स्प्रिंग की कठोरता (लोच) गुणांक है; Δx - स्प्रिंग का विरूपण (तनाव या संपीड़न)।

जब स्प्रिंग पेंडुलम का भार उसकी संतुलन स्थिति से विस्थापित हो जाता है, तो उस पर कार्य किया जाता है बहाल बल, जिसका पेंडुलम की गति की दिशा पर प्रक्षेपण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

एफ एक्स = −kx ,

जहां x संतुलन स्थिति से स्प्रिंग पेंडुलम भार का विस्थापन है, x = ∆x, ∆x स्प्रिंग का विरूपण है; k पेंडुलम स्प्रिंग की कठोरता (लोच) गुणांक है।

स्प्रिंग पेंडुलम के हार्मोनिक दोलन के दौरान, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है:

ई = स्थिरांक.

स्प्रिंग पेंडुलम की तीन स्थितियों में कुल ऊर्जा का मान तालिका में परिलक्षित होता है। 10.2.

तालिका के अंतिम कॉलम में प्रस्तुत कुल यांत्रिक ऊर्जा के मान पेंडुलम की किसी भी स्थिति के लिए समान मान हैं, जो एक गणितीय अभिव्यक्ति है कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:

एम वी अधिकतम 2 2 = के (Δ एक्स अधिकतम) 2 2 ;

एम वी अधिकतम 2 2 = एम वी 2 2 + के (Δ एक्स) 2 2 ;

k (Δ x अधिकतम) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

जहाँ m भार का द्रव्यमान है; v स्थिति 3 में लोड की तात्कालिक गति का मॉड्यूल है; Δx - स्थिति 3 में स्प्रिंग का विरूपण (तनाव या संपीड़न); वी मैक्स - स्थिति 1 में लोड की अधिकतम गति का मॉड्यूल; Δx अधिकतम - स्थिति 2 में स्प्रिंग का अधिकतम विरूपण (तनाव या संपीड़न)।

उदाहरण 12. एक स्प्रिंग पेंडुलम हार्मोनिक दोलन करता है। उस समय इसकी गतिज ऊर्जा इसकी संभावित ऊर्जा से कितनी गुना अधिक है जब शरीर का संतुलन स्थिति से विस्थापन आयाम का एक चौथाई है?

समाधान । आइए स्प्रिंग पेंडुलम की दो स्थितियों की तुलना करें:

• चरम स्थिति 1 (संतुलन स्थिति x अधिकतम से पेंडुलम भार के अधिकतम विस्थापन की विशेषता);
• मध्यवर्ती स्थिति 2 (संतुलन स्थिति x और वेग v → से विस्थापन के मध्यवर्ती मूल्यों की विशेषता)।

चरम और मध्यवर्ती स्थिति में पेंडुलम की कुल ऊर्जा निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

• चरम स्थिति में -

ई 1 = के (Δ x अधिकतम) 2 2,

जहां k स्प्रिंग की कठोरता (लोच) गुणांक है; ∆x अधिकतम - दोलनों का आयाम (संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन), ∆x अधिकतम = ए;

• मध्यवर्ती स्थिति में -

ई 2 = के (Δ एक्स) 2 2 + एम वी 2 2,

जहाँ m लोलक भार का द्रव्यमान है; ∆x - संतुलन स्थिति से भार का विस्थापन, ∆x = A /4.

स्प्रिंग पेंडुलम के लिए कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम निम्नलिखित रूप में है:

k (Δ x अधिकतम) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2।

आइए लिखित समानता के दोनों पक्षों को k (∆x) 2 /2 से विभाजित करें:

(Δ x अधिकतम Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

जहाँ W k मध्यवर्ती स्थिति में पेंडुलम की गतिज ऊर्जा है, W k = mv 2 /2; डब्ल्यू पी - एक मध्यवर्ती स्थिति में पेंडुलम की संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = के (∆x) 2 /2।

आइए हम आवश्यक ऊर्जा अनुपात को समीकरण से व्यक्त करें:

W k W p = (Δ x अधिकतम Δ x) 2 - 1

और इसके मूल्य की गणना करें:

डब्ल्यू के डब्ल्यू पी = (ए ए / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15।

संकेतित समय बिंदु पर, गतिज और का अनुपात संभावित ऊर्जापेंडुलम 15 के बराबर है.