वैकल्पिक श्रृंखला को हल करना. वैकल्पिक श्रृंखला, पूर्ण और सशर्त अभिसरण। बारी-बारी से पंक्तियाँ। लीबनिज़ का चिन्ह. पूर्ण और सशर्त अभिसरण

एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

परिभाषा 2.2.एक संख्या श्रृंखला जिसके सदस्य किसी भी संख्या के बाद होते हैं विभिन्न संकेत, बुलाया वैकल्पिक संकेत .

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए निम्नलिखित का पालन किया जाता है: सामान्य पर्याप्त संकेतअभिसरण.

प्रमेय 2.2.एक वैकल्पिक श्रृंखला दी जाए

यदि इस श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है

तब प्रत्यावर्ती श्रृंखला (2.2) स्वयं अभिसरण हो जाती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विपरीत कथन सत्य नहीं है: यदि श्रृंखला (2.2) अभिसरण करती है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि श्रृंखला (2.3) अभिसरण होगी।

परिभाषा 2.3. बिल्कुल अभिसरण , यदि उसके सदस्यों के मॉड्यूल से बनी एक श्रृंखला अभिसरण करती है।

एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है सशर्त रूप से अभिसरण , यदि यह स्वयं अभिसरण करता है, लेकिन इसके सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला अलग हो जाती है।

प्रत्यावर्ती श्रृंखलाओं में पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला एक विशेष स्थान रखती है। ऐसी श्रृंखला में कई गुण होते हैं, जिन्हें हम बिना प्रमाण के तैयार करेंगे।

योगों के साथ दो पूर्णतः अभिसारी श्रृंखलाओं का गुणनफल एक पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग बराबर होता है।

इस प्रकार, बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला को सामान्य श्रृंखला की तरह जोड़ा, घटाया और गुणा किया जाता है। ऐसी श्रृंखला का योग उस क्रम पर निर्भर नहीं करता जिसमें पद लिखे गए हैं।

सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के मामले में, संबंधित कथन (गुण), आम तौर पर बोलते हुए, मान्य नहीं होते हैं।

इस प्रकार, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके, यह सुनिश्चित करना संभव है कि श्रृंखला का योग बदल जाए। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला लीबनिज़ की कसौटी के अनुसार सशर्त अभिसरण होता है। माना कि इस श्रृंखला का योग बराबर है। आइए इसके पदों को फिर से लिखें ताकि एक सकारात्मक पद के बाद दो नकारात्मक पद रह जाएं। हमें एक शृंखला मिलती है

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इसके अलावा, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके, कोई पूर्व निर्धारित योग या अपसारी श्रृंखला (रीमैन की प्रमेय) के साथ एक अभिसरण श्रृंखला प्राप्त कर सकता है।

इसलिए, पंक्तियों पर संचालन यह सुनिश्चित किए बिना नहीं किया जा सकता है कि वे हैं पूर्ण अभिसरण. पूर्ण अभिसरण स्थापित करने के लिए, सकारात्मक शब्दों के साथ संख्या श्रृंखला के अभिसरण के सभी संकेतों का उपयोग किया जाता है, सामान्य शब्द को हर जगह इसके मॉड्यूल के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण 2.1. .

समाधान।मूल श्रृंखला वैकल्पिक है. आइए हम किसी दी गई श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मानों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें, अर्थात। पंक्ति . चूँकि, तब एक समान श्रृंखला के पद डिरिचलेट श्रृंखला के पदों से बड़े नहीं होते हैं , जो अभिसरण के लिए जाना जाता है। इसलिए, तुलना की कसौटी के आधार पर, यह श्रृंखला बिल्कुल मेल खाती है। ,

उदाहरण 2.2.अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें.

समाधान।

2) निरपेक्ष पदों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें। हम डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके अभिसरण के लिए इसकी जांच करते हैं

डी'एलेम्बर्ट की कसौटी के अनुसार, निरपेक्ष शब्दों से बनी एक श्रृंखला अभिसरण करती है। इसका मतलब यह है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है। ,

उदाहरण 2.3.अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें .

समाधान। 1) यह पंक्ति बारी-बारी से है। हम लीबनिज़ की कसौटी का उपयोग करते हैं। आइए देखें कि शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं।

इसलिए, मूल श्रृंखला अभिसरण करती है।

2) निरपेक्ष पदों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें। हम सीमित तुलना परीक्षण का उपयोग करके अभिसरण के लिए इसकी जांच करते हैं। एक हार्मोनिक श्रृंखला पर विचार करें जो विचलन करती है।

नतीजतन, दोनों श्रृंखलाएं समान व्यवहार करती हैं, यानी। निरपेक्ष पदों से बनी श्रृंखला भी भिन्न होती है। इसका मतलब यह है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है। ,

प्रत्यावर्ती श्रृंखला वह श्रृंखला होती है जिसके पद वैकल्पिक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक होते हैं। . अक्सर, वैकल्पिक श्रृंखला पर विचार किया जाता है, जिसमें शब्द एक समय में एक के बाद एक आते हैं: प्रत्येक सकारात्मक के बाद एक नकारात्मक आता है, और प्रत्येक नकारात्मक के बाद एक सकारात्मक आता है। लेकिन ऐसी वैकल्पिक पंक्तियाँ हैं जिनमें सदस्य दो, तीन, इत्यादि के माध्यम से वैकल्पिक होते हैं।

एक वैकल्पिक श्रृंखला के उदाहरण पर विचार करें, जिसकी शुरुआत इस तरह दिखती है:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

और तुरंत सामान्य नियमवैकल्पिक पंक्तियों के रिकॉर्ड.

किसी भी श्रृंखला की तरह, किसी दी गई श्रृंखला को जारी रखने के लिए, आपको एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करना होगा जो श्रृंखला का सामान्य पद निर्धारित करता है। हमारे मामले में यह है एन + 2 .

किसी शृंखला के सदस्यों के चिह्नों का प्रत्यावर्तन कैसे निर्धारित करें? किसी फ़ंक्शन को कुछ हद तक शून्य से एक गुणा करना। किस हद तक? आइए हम तुरंत इस बात पर जोर दें कि प्रत्येक डिग्री श्रृंखला की शर्तों के लिए संकेतों के विकल्प को सुनिश्चित नहीं करती है।

मान लीजिए कि हम चाहते हैं कि वैकल्पिक श्रृंखला के पहले पद पर एक सकारात्मक चिह्न हो, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है। तब शून्य से एक घात होना चाहिए एन− 1 . इस अभिव्यक्ति में एक से शुरू होने वाली संख्याओं को प्रतिस्थापित करना शुरू करें और आपको मिलेगा शून्य से एक के प्रतिपादक के रूप में, या तो एक सम या एक विषम संख्या। वैकल्पिक संकेतों के लिए यह एक आवश्यक शर्त है! जब हमें वैसा ही परिणाम मिलता है एन+ 1 . यदि हम चाहते हैं कि प्रत्यावर्ती श्रृंखला के पहले पद में ऋणात्मक चिह्न हो, तो हम उभयनिष्ठ पद के फलन को घात से एक से गुणा करके इस श्रृंखला को परिभाषित कर सकते हैं। एन. हमें एक सम संख्या, एक विषम संख्या इत्यादि प्राप्त होती है। जैसा कि हम देख सकते हैं, वैकल्पिक संकेतों के लिए पहले से वर्णित शर्त पूरी हो गई है।

इस प्रकार, हम उपरोक्त वैकल्पिक श्रृंखला को सामान्य रूप में लिख सकते हैं:

किसी श्रृंखला के सदस्य के चिह्नों को वैकल्पिक करने के लिए, घात शून्य से एक का योग हो सकता है एनऔर कोई भी सकारात्मक या नकारात्मक, सम या विषम संख्या। यही बात 3 पर भी लागू होती है एन , 5एन, ... अर्थात्, प्रत्यावर्ती श्रृंखला के सदस्यों के चिह्नों को बारी-बारी से योग के रूप में शून्य से एक पर डिग्री प्रदान की जाती है एन, किसी भी विषम संख्या और किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

शून्य से एक पर कौन सी शक्तियाँ श्रृंखला की शर्तों के संकेतों के विकल्प को सुनिश्चित नहीं करती हैं? जो फॉर्म में मौजूद हैं एन, किसी भी सम संख्या से गुणा किया गया है, जिसमें शून्य, सम या विषम सहित कोई भी संख्या जोड़ी गई है। ऐसी डिग्री के संकेतकों के उदाहरण: 2 एन , 2एन + 1 , 2एन − 1 , 2एन + 3 , 4एन+ 3 ... ऐसी शक्तियों के मामले में, किस संख्या में "एन" जोड़ा जाता है, इस पर निर्भर करते हुए, एक सम संख्या से गुणा करने पर, या तो केवल सम या केवल विषम संख्याएं प्राप्त होती हैं, जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, ऐसा नहीं होता है श्रृंखला के पदों के चिह्नों का विकल्प दीजिए।

वैकल्पिक श्रृंखला - एक विशेष मामला वैकल्पिक श्रृंखला . प्रत्यावर्ती श्रृंखला मनमाने चिह्नों की शर्तों वाली श्रृंखला है , अर्थात वे जो किसी भी क्रम में सकारात्मक और नकारात्मक हो सकते हैं। एकांतर श्रृंखला का एक उदाहरण:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

इसके बाद, हम प्रत्यावर्ती और प्रत्यावर्ती श्रृंखला के अभिसरण के संकेतों पर विचार करते हैं। लाइबनिज़ परीक्षण का उपयोग करके संकेतों की वैकल्पिक श्रृंखला का सशर्त अभिसरण स्थापित किया जा सकता है। और अधिक के लिए विस्तृत श्रृंखलाश्रृंखला - प्रत्यावर्ती (प्रत्यावर्ती सहित) - पूर्ण अभिसरण का संकेत लागू होता है।

संकेतों की वैकल्पिक श्रृंखला का अभिसरण। लीबनिज़ का परीक्षण

वैकल्पिक संकेतों की श्रृंखला के लिए, अभिसरण की निम्नलिखित कसौटी मान्य है- लाइबनिज कसौटी।

प्रमेय (लीबनिज़ परीक्षण)।यदि निम्नलिखित दो शर्तें एक साथ पूरी होती हैं तो श्रृंखला अभिसरण करती है और इसका योग पहले पद से अधिक नहीं होता है:

• प्रत्यावर्ती श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घट जाता है: यू1 > यू 2 > यू 3 > ... > यू n>...;
• असीमित वृद्धि के साथ इसके सामान्य पद की सीमा एनशून्य के बराबर.

परिणाम। यदि हम प्रत्यावर्ती श्रृंखला के योग को उसके योग के रूप में लेते हैं एनपद, तो अनुमत त्रुटि पहले छोड़े गए पद के निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होगी।

उदाहरण 1.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है. इसके सदस्यों के निरपेक्ष मान घटते हैं:

और सामान्य पद की सीमा

शून्य के बराबर:

लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए श्रृंखला अभिसरण होती है।

उदाहरण 2.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है. पहले हम यह साबित करते हैं:

, .

अगर एन= 1, तो सभी के लिए एन > एनअसमानता 12 कायम है एन − 7 > एन. बदले में, सभी के लिए एन. इसलिए, अर्थात्, श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घट जाता है। आइए हम श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें (का उपयोग करके)। एल हॉस्पिटल का नियम):

सामान्य पद की सीमा शून्य है. लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए अभिसरण के प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है।

उदाहरण 3.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। एक वैकल्पिक श्रृंखला दी गई है। आइए जानें कि लीबनिज़ मानदंड की पहली शर्त, यानी आवश्यकता पूरी होती है या नहीं। आवश्यकता की पूर्ति के लिए यह आवश्यक है

हमने यह सुनिश्चित किया है कि सभी की आवश्यकताएं पूरी हों एन > 0 . लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें:

.

सीमा शून्य नहीं है. इस प्रकार, लाइबनिज़ मानदंड की दूसरी शर्त संतुष्ट नहीं है, इसलिए अभिसरण का प्रश्न ही नहीं उठता।

उदाहरण 4.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। इस श्रृंखला में, दो नकारात्मक शब्दों के बाद दो सकारात्मक शब्द आते हैं। यह शृंखला भी परिवर्तनशील है। आइए जानें कि लीबनिज़ के परीक्षण की पहली शर्त पूरी होती है या नहीं।

आवश्यकता सभी के लिए पूरी की जाती है एन > 1 . लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है (एल'हॉपिटल का नियम लागू करते हुए):

.

हमें शून्य मिला. इस प्रकार लाइबनिज़ के परीक्षण की दोनों शर्तें पूरी होती हैं। अभिसरण हो रहा है.

उदाहरण 5.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है. आइए जानें कि लीबनिज़ के परीक्षण की पहली शर्त पूरी होती है या नहीं। क्योंकि

,

क्योंकि एन ≥ 0 , फिर 3 एन+ 2 > 0 . बदले में, सभी के लिए एन, इसीलिए । परिणामस्वरूप, श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घट जाता है। लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है (एल'हॉपिटल का नियम लागू करते हुए):

.

हमें शून्य मान मिला. लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए यह श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण 6.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। आइए जानें कि क्या इस वैकल्पिक श्रृंखला के लिए लीबनिज़ परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है:

श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घट जाता है। लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है:

.

सामान्य पद की सीमा शून्य नहीं है. लीबनिज के परीक्षण की दूसरी शर्त संतुष्ट नहीं है। इसलिए, यह शृंखला अलग हो जाती है।

लीबनिज का परीक्षण एक संकेत है सशर्त अभिसरणपंक्ति. इसका मतलब यह है कि ऊपर मानी गई वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण और विचलन के बारे में निष्कर्षों को पूरक किया जा सकता है: ये श्रृंखलाएं सशर्त रूप से अभिसरण (या विचलन) करती हैं।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला का पूर्ण अभिसरण

चलो पंक्ति

- वैकल्पिक संकेत. आइए हम इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें:

परिभाषा। एक श्रृंखला को पूर्ण रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि उसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है। यदि कोई प्रत्यावर्ती श्रृंखला अभिसरण करती है, और उसके सदस्यों के निरपेक्ष मानों से बनी श्रृंखला अपसरण करती है, तो ऐसी प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है सशर्त या गैर-पूर्ण रूप से अभिसरण .

प्रमेय.यदि कोई श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है, तो यह सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण 7.निर्धारित करें कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है

समाधान। इस शृंखला के अनुरूप सकारात्मक शब्दों के आगे यह शृंखला है सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला, जिसमें, इसलिए श्रृंखला अलग हो जाती है। आइए देखें कि लीबनिज परीक्षण की शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं।

आइए श्रृंखला के पहले पाँच पदों के निरपेक्ष मान लिखें:

.

जैसा कि हम देख सकते हैं, श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घटता है। लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है:

हमें शून्य मान मिला. लीबनिज़ के परीक्षण की दोनों शर्तें पूरी होती हैं। अर्थात् लीबनिज की कसौटी के अनुसार अभिसरण होता है। और सकारात्मक पदों वाली संगत श्रृंखला अलग हो जाती है। इसलिए, यह श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण 8.निर्धारित करें कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है

बिल्कुल, सशर्त, या भिन्न।

समाधान। इस श्रृंखला के अनुरूप सकारात्मक पदों के आगे श्रृंखला है। यह एक सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला है, जिसमें, इसलिए, श्रृंखला विचलन करती है। आइए देखें कि लीबनिज परीक्षण की शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं।

यह खंड अपनी असाधारण उपस्थिति का श्रेय कई लेखकों को देता है, जिनकी रचनाएँ पढ़कर मैं इन कार्यों को स्वयं लेखकों में लॉन्च करना चाहता था। दरअसल, मैं पोस्ट करने की योजना बना रहा था इस विषयपूरी तरह से तभी जब यह अंततः तैयार हो जाए, हालाँकि, इसके कारण भी बड़ी मात्राइसके बारे में प्रश्नों के उत्तर में, मैं अब कुछ बिंदुओं की रूपरेखा तैयार करूंगा। इसके बाद, सामग्री को पूरक और विस्तारित किया जाएगा। आइए परिभाषाओं से शुरू करें।

फॉर्म $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ की एक श्रृंखला, जहां $u_n>0$, को वैकल्पिक कहा जाता है।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला के सदस्यों के चिह्न सख्ती से वैकल्पिक होते हैं:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$

उदाहरण के लिए, $1-\frac(1)(2)+\frac(1)(3)-\frac(1)(4)+\ldots$ एक वैकल्पिक श्रृंखला है। ऐसा होता है कि संकेतों का सख्त विकल्प पहले तत्व से शुरू नहीं होता है, लेकिन अभिसरण अध्ययन के लिए यह महत्वपूर्ण नहीं है।

वैकल्पिक वर्ण पहले तत्व से शुरू नहीं होना महत्वहीन क्यों है? छिपा हुया दिखाओ

तथ्य यह है कि संख्या श्रृंखला के गुणों के बीच एक कथन है जो हमें श्रृंखला के "अतिरिक्त" सदस्यों को त्यागने की अनुमति देता है। यह संपत्ति है:

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ अभिसरण करती है यदि और केवल यदि इसका कोई शेषफल $r_n=\sum\limits_(k=n+1)^(\infty)u_k अभिसरण $ . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी निश्चित श्रृंखला में सीमित संख्या में पदों को हटाने या जोड़ने से श्रृंखला के अभिसरण में कोई परिवर्तन नहीं आता है।

आइए हमें एक निश्चित वैकल्पिक श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ दी जाए, और इस श्रृंखला के लिए लीबनिज़ परीक्षण की पहली शर्त पूरी की जाए , यानी $\lim_(n\to(\infty))u_n=0$. हालाँकि, दूसरी शर्त, यानी. $u_n≥u_(n+1)$, एक निश्चित संख्या $n_0\in(N)$ से प्रारंभ करके निष्पादित किया जाता है। यदि $n_0=1$, तो हमें लीबनिज़ के मानदंड की दूसरी स्थिति का सामान्य सूत्रीकरण मिलता है, इसलिए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $ जुट जाएगा. यदि $n_0>1$, तो हम श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ को दो भागों में विभाजित करते हैं। पहले भाग में हम उन सभी तत्वों का चयन करते हैं जिनकी संख्या $n_0$ से कम है:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=\sum\limits_(n=1)^(n_0-1)(-1)^(n +1)u_n+\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $$

श्रृंखला $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ के लिए लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए श्रृंखला $\sum\limits_(n= n_0)^(\ infty)(-1)^(n+1)u_n$ अभिसरित होता है। चूँकि शेषफल अभिसरण करता है, मूल श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ भी अभिसरित होगी।

इस प्रकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि लीबनिज परीक्षण की दूसरी शर्त संतुष्ट है, पहले से शुरू, या हजारवें तत्व से - श्रृंखला अभी भी अभिसरण होगी।

मैं ध्यान देता हूं कि लीबनिज का परीक्षण पर्याप्त है, लेकिन नहीं एक आवश्यक शर्तवैकल्पिक श्रृंखला का अभिसरण। दूसरे शब्दों में, लाइबनिज़ मानदंड की शर्तों की पूर्ति श्रृंखला के अभिसरण की गारंटी देती है, लेकिन इन शर्तों को पूरा करने में विफलता या तो अभिसरण या विचलन की गारंटी नहीं देती है। बेशक, पहली शर्त को पूरा करने में विफलता, अर्थात्। केस $\lim_(n\to(\infty))u_n\neq(0)$, का अर्थ है श्रृंखला का विचलन $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+ 1)यू_एन $, हालांकि, दूसरी शर्त को पूरा करने में विफलता अभिसरण और अपसारी दोनों श्रृंखलाओं के लिए हो सकती है।

चूंकि संकेतों की वैकल्पिक श्रृंखला अक्सर मानक मानक गणनाओं में पाई जाती है, इसलिए मैंने एक योजना संकलित की है जिसके द्वारा अभिसरण के लिए संकेतों की एक मानक वैकल्पिक श्रृंखला की जांच की जा सकती है।

बेशक, आप मॉड्यूल की एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच को दरकिनार करते हुए, सीधे लीबनिज़ परीक्षण लागू कर सकते हैं। हालाँकि, मानक के लिए शिक्षण उदाहरणमॉड्यूल की एक श्रृंखला की जाँच करना आवश्यक है, क्योंकि मानक गणना के अधिकांश लेखकों को न केवल यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि श्रृंखला अभिसरण करती है या नहीं, बल्कि अभिसरण की प्रकृति (सशर्त या पूर्ण) निर्धारित करने की भी आवश्यकता होती है। आइए उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण क्रमांक 1

अभिसरण के लिए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ की जांच करें।

सबसे पहले, आइए जानें कि क्या यह श्रृंखला वास्तव में वैकल्पिक है। चूँकि $n≥1$, तो $4n-1≥3>0$ और $n^2+3n≥4>0$, यानी। सभी $n\in(N)$ के लिए हमारे पास $\frac(4n-1)(n^2+3n)>0$ है। इस प्रकार, दी गई श्रृंखला का रूप $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ है, जहां $u_n=\frac(4n-1)(n^ 2 +3n)>0$, अर्थात्। विचाराधीन श्रृंखला बारी-बारी से चल रही है।

आमतौर पर ऐसी जांच मौखिक रूप से की जाती है, लेकिन इसे छोड़ना बेहद अवांछनीय है: मानक गणना में त्रुटियां असामान्य नहीं हैं। अक्सर ऐसा होता है कि किसी श्रृंखला के सदस्यों के चिन्ह श्रृंखला के पहले सदस्य से नहीं बल्कि एक-दूसरे से बदलने लगते हैं। इस मामले में, आप श्रृंखला के "हस्तक्षेप करने वाले" शब्दों को त्याग सकते हैं और शेष के अभिसरण की जांच कर सकते हैं (इस पृष्ठ की शुरुआत में नोट देखें)।

तो, हमें एक संकेत-प्रत्यावर्ती श्रृंखला दी गई है। हम उपरोक्त का पालन करेंगे. आरंभ करने के लिए, आइए इस श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल की एक श्रृंखला बनाएं:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n) $$

आइए जांचें कि मॉड्यूल की संकलित श्रृंखला अभिसरण करती है या नहीं। आइए तुलना मानदंड लागू करें। चूँकि सभी $n\in(N)$ के लिए हमारे पास $4n-1=3n+n-1≥3n$ और $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$ है, तो:

$$ \frac(4n-1)(n^2+3n)≥ \frac(3n)(4n^2)=\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n) $$

हार्मोनिक श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ विचलन करती है, इसलिए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left होगी (\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n)\right)$ को भी अलग करें। इसलिए, तुलना मानदंड के अनुसार, श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ विचलन करती है। आइए $u_n=\frac(4n-1)(n^2+3n)$ को निरूपित करें और जांचें कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला के लिए लीबनिज़ परीक्षण की शर्तें संतुष्ट हैं या नहीं। आइए $\lim_(n\to(\infty))u_n$ खोजें:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(4n-1)(n^2+3n) =\lim_(n\to(\infty) ))\frac(\frac(4)(n)-\frac(1)(n^2))(1+\frac(3)(n)) =0. $$

लीबनिज के परीक्षण की पहली शर्त पूरी होती है। अब हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि क्या असमानता $u_n≥u_(n+1)$ कायम है। काफी संख्या में लेखक श्रृंखला के पहले कुछ शब्दों को लिखना पसंद करते हैं और फिर निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता $u_n≥u_(n+1)$ संतुष्ट है।

दूसरे शब्दों में, इस श्रृंखला के लिए यह "प्रमाण" इस तरह दिखेगा: $\frac(2)(3)≤\frac(5)(8)≤\frac(8)(15)≤\ldots$. पहले कुछ पदों की तुलना करने के बाद, निष्कर्ष निकाला जाता है: शेष पदों के लिए असमानता बनी रहेगी, प्रत्येक बाद वाला पिछले एक से अधिक नहीं होगा। मुझे नहीं पता कि यह "प्रमाण की विधि" कहां से आई, लेकिन यह गलत है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम के लिए $v_n=\frac(10^n)(n$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.!}

असमानता $u_n≥u_(n+1)$ कैसे सिद्ध करें? में सामान्य मामलाइसे करने बहुत सारे तरीके हैं। हमारे मामले में सबसे सरल अंतर $u_n-u_(n+1)$ पर विचार करना और उसका संकेत पता लगाना है। में निम्नलिखित उदाहरणआइए दूसरे तरीके पर विचार करें: संबंधित फ़ंक्शन की कमी को सिद्ध करके।

$$ u_n-u_(n+1) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4(n+1)-1)((n+1)^2+3(n +1)) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4n+3)(n^2+5n+4)=\\ =\frac((4n-1)\cdot \left(n^2+5n+4\right)-\left(n^2+3n\right)\cdot(4n+3))(\left(n^2+3n\right)\cdot\left( n^2+5n+4\right)) =\frac(4n^2+2n-4)(\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right) ). $$

चूँकि $n≥1$, तो $4n^2-4≥0$, जहां से हमारे पास $4n^2+2n-4>0$ है, यानी। $u_n-u_(n+1)>0$, $u_n>u_(n+1)$. बेशक, ऐसा होता है कि असमानता $u_n≥u_(n+1)$ श्रृंखला के पहले पद से संतुष्ट नहीं है, लेकिन यह महत्वहीन है (पृष्ठ की शुरुआत में देखें)।

इस प्रकार, लाइबनिज़ मानदंड की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। चूँकि इस मामले में श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right |। $ विचलन करता है, फिर श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

उत्तर: श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण क्रमांक 2

अभिसरण के लिए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ की जांच करें।

सबसे पहले, अभिव्यक्ति $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ पर विचार करें। यह देखने के लिए थोड़ी जांच करना उचित है कि स्थिति सही है या नहीं। तथ्य यह है कि अक्सर मानक मानक गणनाओं की स्थितियों में त्रुटियों का सामना करना पड़ सकता है जब मूल अभिव्यक्ति नकारात्मक होती है, या $n$ के कुछ मानों के लिए हर में शून्य दिखाई देता है।

ऐसी परेशानियों से बचने के लिए, आइए एक सरल प्रारंभिक अध्ययन करें। चूँकि $n≥1$ के लिए हमारे पास $2n^3≥2$ है, तो $2n^3-1≥1$, यानी। मूल के अंतर्गत अभिव्यक्ति ऋणात्मक या शून्य के बराबर नहीं हो सकती। इसलिए स्थिति बिल्कुल सही है. अभिव्यक्ति $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ सभी $n≥1$ के लिए परिभाषित है।

मुझे यह जोड़ने दीजिए कि $n≥1$ के लिए असमानता $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))>0$ सत्य है, यानी। हमें एक संकेत-प्रत्यावर्ती श्रृंखला दी गई है। हम उपरोक्त के अनुसार इसका पता लगाएंगे। आरंभ करने के लिए, आइए इस श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल की एक श्रृंखला बनाएं:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) $$

आइए जांचें कि क्या किसी दी गई श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है। आइए तुलना मानदंड लागू करें। पिछले उदाहरण को हल करने में, हमने पहले तुलना मानदंड का उपयोग किया था। यहां, विशुद्ध रूप से विविधता के लिए, हम तुलना का दूसरा चिह्न (सीमित रूप में तुलना का चिह्न) लागू करते हैं। आइए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ की तुलना भिन्न श्रृंखला $\sum\limits_(n) से करें =1)^ (\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)))(\frac(1)(\sqrt(n))) =\lim_ (n\to\infty)\frac(5n\sqrt(n)-4\sqrt(n))(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (5n\sqrt(n))(n\sqrt(n))-\frac(4\sqrt(n))(n\sqrt(n)))(\sqrt(\frac(2n^3-1)( n^3))) \lim_(n\to\infty)\frac(5-\frac(4)(n))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =\frac (5)(\sqrt(2)). $$

चूँकि $\frac(5)(\sqrt(2))\neq(0)$ और $\frac(5)(\sqrt(2))\neq\infty$, तो एक साथ श्रृंखला $\sum\limits_ के साथ (n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ विचलन करेगा और श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4) ( \sqrt(2n^3-1))$.

इसलिए, दी गई वैकल्पिक श्रृंखला में पूर्ण अभिसरण नहीं है। आइए $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ को निरूपित करें और जांचें कि लीबनिज परीक्षण की शर्तें संतुष्ट हैं या नहीं। आइए $\lim_(n\to(\infty))u_n$ खोजें:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\ to(\infty))\frac(\frac(5n)(n^(\frac(3)(2)))-\frac(4)(n^(\frac(3)(2))))( \sqrt(\frac(2n^3-1)(n^3))) =\lim_(n\to(\infty))\frac(\frac(5)(\sqrt(n))-\frac( 4)(n^(\frac(3)(2)))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =0. $$

लीबनिज के परीक्षण की पहली शर्त पूरी होती है। अब हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि क्या असमानता $u_n≥u_(n+1)$ कायम है। पिछले उदाहरण में, हमने इस असमानता को साबित करने के तरीकों में से एक पर गौर किया: अंतर का चिह्न $u_n-u_(n+1)$ का पता लगाकर। इस बार आइए एक अलग विधि का उपयोग करें: $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ के बजाय, फ़ंक्शन $y(x)=\frac(5x-4)( पर विचार करें \sqrt( 2x^3-1))$ ने $x≥1$ प्रदान किया। मैं ध्यान देता हूं कि इस फ़ंक्शन का व्यवहार $x स्थिति के अंतर्गत है<1$ нам совершенно безразлично.

हमारा लक्ष्य यह साबित करना है कि फ़ंक्शन $y(x)$ गैर-बढ़ रहा है (या घट रहा है)। यदि हम साबित करते हैं कि फ़ंक्शन $y(x)$ बढ़ नहीं रहा है, तो सभी मानों $x_2>x_1$ के लिए हमारे पास $y(x_1)≥y(x_2)$ होगा। $x_1=n$ और $x_2=n+1$ को मानते हुए, हम पाते हैं कि असमानता $n+1>n$ असमानता $y(n)≥y(n+1)$ की सच्चाई को दर्शाती है। चूँकि $y(n)=u_n$, तो असमानता $y(n)≥y(n+1)$ $u_(n)≥u_(n+1)$ के समान है।

यदि हम दिखाते हैं कि $y(x)$ एक घटता हुआ फलन है, तो असमानता $n+1>n$ असमानता $y(n)>y(n+1)$ की सच्चाई की ओर ले जाएगी, अर्थात। $u_(n)>u_(n+1)$.

आइए व्युत्पन्न $y"(x)$ ढूंढें और $x$ के संबंधित मानों के लिए इसका चिह्न ढूंढें।

$$ y"(x)=\frac((5x-4)"\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\left(\sqrt(2x^3-1)\right )")(\left(\sqrt(2x^3-1)\right)^2) =\frac(5\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\frac(1) )(2\sqrt(2x^3-1))\cdot(6x^2))(2x^3-1)=\\ =\frac(5\cdot\left(2x^3-1\right)- (5x-4)\cdot(3x^2))(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) =\frac(-5x^3+12x^2- 5)(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) $$

मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है कि $x≥1$ के पर्याप्त बड़े सकारात्मक मूल्यों के लिए हर में बहुपद शून्य से कम होगा, यानी। $-5x^3+12x^2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

हालाँकि, आइए इस मुद्दे को कम औपचारिक रूप से देखें। बीजगणित से अनावश्यक उलझनों को शामिल न करने के लिए, हम अभिव्यक्ति $-5x^3+12x^2-5$ के मूल्य का मोटे तौर पर अनुमान लगाएंगे। आइए $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$ को ध्यान में रखें। $x≥3$ के लिए हमारे पास $-5x+12 है<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

इस प्रकार, $x≥3$ के लिए हमारे पास $y"(x) है<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_(n+1)$, अर्थात्। लीबनिज़ के परीक्षण की दूसरी शर्त पूरी होती है। बेशक, हमने दूसरी शर्त की पूर्ति $n=1$ के साथ नहीं, बल्कि $n=3$ के साथ दिखाई है, लेकिन यह महत्वहीन है (पेज की शुरुआत में देखें)।

इस प्रकार, लाइबनिज़ मानदंड की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। चूँकि इस मामले में श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1) ) )\right|$ विचलन करता है, फिर श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n) $ सशर्त रूप से अभिसरण करता है।

उत्तर: श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण संख्या 3

अभिसरण के लिए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)$ की जांच करें।

यह उदाहरण बहुत रुचिकर नहीं है, इसलिए मैं इसे संक्षेप में लिखूंगा। हमें एक वैकल्पिक श्रृंखला दी गई है, जिसे हम फिर से उपयोग करके जांचेंगे। आइए इस श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल की एक श्रृंखला बनाएं:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n+4)(2^n) $$

आइए $u_n=\frac(3n+4)(2^n)$ को दर्शाते हुए D'Alembert का चिह्न लागू करें, हमें $u_(n+1)=\frac(3n+7)(2^(n+1) मिलता है। )$ .

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_(n)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+7)(2^ (n+1))(\frac(3n+4)(2^n)) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3n+7)(3n+4 ) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(7)(n))(3+\frac(4)(n)) =\frac(1 )(2)\cdot(1)=\frac(1)(2). $$

चूँकि $\frac(1)(2)<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

मैं ध्यान देता हूं कि दिए गए उदाहरण को हल करने के लिए हमें लीबनिज़ परीक्षण की आवश्यकता नहीं थी। इसीलिए पहले मॉड्यूल की श्रृंखला के अभिसरण की जांच करना सुविधाजनक है, और फिर, यदि आवश्यक हो, तो मूल वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें।

उत्तर: श्रृंखला बिल्कुल एकाग्र होती है।

एक श्रृंखला को प्रत्यावर्ती कहा जाता है यदि उसके पदों में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों शामिल हों।

पिछले पैराग्राफ में विचार की गई वैकल्पिक श्रृंखला स्पष्ट रूप से वैकल्पिक श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

हम यहां प्रत्यावर्ती श्रृंखला के कुछ गुणों पर विचार करेंगे। इसके अलावा, पिछले पैराग्राफ में अपनाए गए समझौते के विपरीत, अब हम मानेंगे कि संख्याएँ सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकती हैं।

सबसे पहले, हम एक चर श्रृंखला के अभिसरण का एक महत्वपूर्ण पर्याप्त संकेत देते हैं।

प्रमेय 1. यदि प्रत्यावर्ती श्रृंखला

ऐसी कि एक श्रृंखला अपने सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी हो,

अभिसरण होता है, फिर यह वैकल्पिक श्रृंखला भी अभिसरण करती है।

सबूत। मान लीजिए श्रृंखला (1) और (2) के प्रथम पदों का योग है।

शर्त के अनुसार, इसकी एक सीमा होती है और यह सकारात्मक रूप से a से कम मात्रा में बढ़ती है। नतीजतन, उनकी सीमाएं हैं। संबंध से यह पता चलता है कि और उनकी एक सीमा है और यह सीमा बराबर है, यानी, वैकल्पिक श्रृंखला (1) अभिसरण करती है।

सिद्ध प्रमेय कुछ वैकल्पिक श्रृंखलाओं के अभिसरण का न्याय करना संभव बनाता है। एक वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न का अध्ययन इस मामले में सकारात्मक पदों वाली श्रृंखला के अध्ययन तक सीमित हो गया है।

आइए दो उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

जहां a कोई संख्या है.

समाधान। इस शृंखला के साथ-साथ शृंखला पर भी गौर करें

श्रृंखला (5) अभिसरण (§ 6 देखें)। श्रृंखला (4) के सदस्य श्रृंखला (5) के संगत सदस्यों से बड़े नहीं हैं; इसलिए, श्रृंखला (4) भी अभिसरण करती है। लेकिन फिर, सिद्ध प्रमेय के आधार पर, यह वैकल्पिक श्रृंखला (3) भी अभिसरित हो जाती है।

उदाहरण 2. श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें

समाधान। इस शृंखला के साथ-साथ शृंखला पर भी गौर करें

यह श्रृंखला अभिसरण करती है क्योंकि यह 1/3 के हर के साथ घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। लेकिन फिर दी गई श्रृंखला (6) भी अभिसरित हो जाती है, क्योंकि इसके पदों का निरपेक्ष मान श्रृंखला (7) के संगत पदों से कम है।

ध्यान दें कि ऊपर सिद्ध अभिसरण का संकेत केवल एक वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण का पर्याप्त संकेत है, लेकिन आवश्यक नहीं: ऐसी वैकल्पिक श्रृंखलाएं हैं जो स्वयं अभिसरण करती हैं, लेकिन उनके शब्दों के पूर्ण मूल्यों से बनी श्रृंखलाएं अलग हो जाती हैं। इस संबंध में, पूर्ण और सशर्त अभिसरण की अवधारणाओं को पेश करना उपयोगी है। प्रत्यावर्ती श्रृंखला और, इन अवधारणाओं के आधार पर, प्रत्यावर्ती श्रृंखला को वर्गीकृत करें।

परिभाषा। वैकल्पिक श्रृंखला

पूर्णतया अभिसारी कहा जाता है यदि उसके पदों के निरपेक्ष मानों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है:

यदि प्रत्यावर्ती श्रृंखला (1) अभिसरण करती है, और श्रृंखला (2), जो इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी है, अलग हो जाती है, तो इस प्रत्यावर्ती श्रृंखला (1) को सशर्त या गैर-पूर्ण रूप से अभिसरण श्रृंखला कहा जाता है।

उदाहरण 3. एक वैकल्पिक श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, क्योंकि इसके सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बनी श्रृंखला एक हार्मोनिक श्रृंखला है जो विचलन करती है। श्रृंखला स्वयं अभिसरण करती है, जिसे लीबनिज़ के परीक्षण का उपयोग करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।

उदाहरण 4. एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला एक पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला है, क्योंकि इसके पदों के निरपेक्ष मानों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है, जैसा कि § 4 में स्थापित किया गया था।

निरपेक्ष अभिसरण की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रमेय 1 को अक्सर निम्नानुसार तैयार किया जाता है: प्रत्येक पूर्ण रूप से अभिसरण श्रृंखला एक अभिसरण श्रृंखला होती है।

निष्कर्ष में, हम बिल्कुल अभिसरण और सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के निम्नलिखित गुणों पर ध्यान देते हैं (प्रमाण के बिना)।

प्रमेय 2. यदि कोई श्रृंखला पूर्णतः अभिसारी है, तो यह अपने पदों के किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए पूर्णतः अभिसारी रहती है। इसके अलावा, किसी श्रृंखला का योग उसके पदों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है।

यह गुण सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के लिए सही नहीं है। प्रमेय 3. यदि कोई श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कौन सी संख्या निर्दिष्ट करते हैं, हम इस श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि इसका योग ए के बराबर हो। इसके अलावा, हम सशर्त रूप से अभिसरण की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं श्रृंखला ताकि पुनर्व्यवस्था के बाद परिणामी श्रृंखला अपसारी हो जाए।

इन प्रमेयों का प्रमाण इस पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है। इसे अधिक विस्तृत पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है (उदाहरण के लिए, फ्न्ख्तेंगोल्ट्स जी.एम. कोर्स ऑफ डिफरेंशियल एंड इंटीग्रल कैलकुलस, खंड II. - एम.: फ़िज़मैटगिज़, 1962, पीपी. 319-320 देखें)।

वह संख्या श्रृंखला जिसके सदस्यों के मनमाने चिह्न (+), (?) होते हैं, एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है। ऊपर चर्चा की गई वैकल्पिक श्रृंखला एक वैकल्पिक श्रृंखला का एक विशेष मामला है; यह स्पष्ट है कि प्रत्येक प्रत्यावर्ती श्रृंखला प्रत्यावर्ती नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक पंक्ति? प्रत्यावर्ती, लेकिन प्रत्यावर्ती श्रृंखला नहीं।

ध्यान दें कि एक वैकल्पिक श्रृंखला में चिह्न (+) और चिह्न (?) दोनों के साथ अनंत रूप से कई पद होते हैं। यदि यह सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए, श्रृंखला में नकारात्मक शब्दों की एक सीमित संख्या है, तो उन्हें खारिज किया जा सकता है और केवल सकारात्मक शब्दों से बनी श्रृंखला पर विचार किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

परिभाषा 1. यदि कोई संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है और उसका योग S के बराबर है, और आंशिक योग S n के बराबर है, तो इसे श्रृंखला का शेषफल कहा जाता है, और, अर्थात। अभिसरण श्रृंखला का शेष भाग 0 की ओर प्रवृत्त होता है।

आइए हम एक अभिसारी प्रत्यावर्ती श्रृंखला को एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला के विशेष मामले के रूप में मानें

कहाँ। आइए इसे लीबनिज़ की कसौटी के अनुसार इस रूप में लिखें; तब से, अर्थात् अभिसरण श्रृंखला का शेष भाग 0 की ओर प्रवृत्त होता है।

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, पूर्ण और सशर्त अभिसरण की अवधारणाओं को पेश किया जाता है।

परिभाषा 2. एक श्रृंखला को पूर्ण रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि उसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है।

परिभाषा 3. यदि कोई संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, और उसके सदस्यों के निरपेक्ष मानों से बनी श्रृंखला विचलन करती है, तो मूल श्रृंखला को सशर्त (गैर-पूर्ण रूप से) अभिसरण कहा जाता है।

प्रमेय 2 (वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक पर्याप्त मानदंड)। एक वैकल्पिक श्रृंखला अभिसरण करती है, और बिल्कुल, यदि एक श्रृंखला अपने शब्दों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी होती है।

सबूत। आइए हम श्रृंखला के आंशिक योग से निरूपित करें: , और द्वारा? श्रृंखला का आंशिक योग: . आइए हम सभी सकारात्मक पदों के योग से, और इसमें शामिल सभी नकारात्मक शब्दों के निरपेक्ष मानों के योग से निरूपित करें। ज़ाहिर तौर से।

प्रमेय की शर्तों के अनुसार, श्रृंखला अभिसरण करती है, फिर इसका अस्तित्व होता है, और अनुक्रम भी ऐसा ही होता है? फिर, नीरस रूप से बढ़ रहा है और गैर-नकारात्मक है। जाहिर है, तब अनुक्रम और एकरस रूप से बढ़ रहे हैं और बंधे हुए हैं, और उनकी सीमाएँ और के बराबर हैं। तब। इसका मतलब यह है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण और अभिसरण करती है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी। प्रमेय 2 प्रत्यावर्ती श्रृंखला के अभिसरण के लिए केवल पर्याप्त शर्त प्रदान करता है। व्युत्क्रम प्रमेय सत्य नहीं है, अर्थात्। यदि एक वैकल्पिक श्रृंखला अभिसरण करती है, तो यह आवश्यक नहीं है कि मॉड्यूल से बनी श्रृंखला अभिसरण हो (यह या तो अभिसरण या भिन्न हो सकती है)। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला लीबनिज की कसौटी के अनुसार अभिसरण करती है (इस व्याख्यान का उदाहरण 1 देखें), लेकिन इसके सदस्यों (हार्मोनिक श्रृंखला) के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण 2. सशर्त और पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें।

समाधान। यह शृंखला प्रत्यावर्ती है, जिसका सामान्य पद इस प्रकार दर्शाया जाएगा: . आइए निरपेक्ष मानों की एक श्रृंखला बनाएं और उस पर डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण लागू करें। आइए एक सीमा बनाएं जहां, . परिवर्तन करने के बाद, हमें मिलता है: इस प्रकार, श्रृंखला अभिसरण करती है, जिसका अर्थ है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है। उत्तर: श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण है।

उदाहरण 3. पूर्ण और सशर्त अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें।

समाधान। ए) हम पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करते हैं। आइए हम निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला को नामित और संकलित करें। हमें सकारात्मक पदों वाली एक श्रृंखला प्राप्त होती है, जिस पर हम श्रृंखला की तुलना करने के लिए सीमा परीक्षण लागू करते हैं (प्रमेय 2, व्याख्यान 2, खंड 2.2)। किसी शृंखला से तुलना करने के लिए, ऐसी शृंखला पर विचार करें जिसका स्वरूप हो। यह शृंखला एक डिरिचलेट शृंखला है जिसमें एक प्रतिपादक है, अर्थात्। वह अलग हो जाता है. आइए निम्नलिखित सीमा बनाएं और गणना करें। चूँकि सीमा मौजूद है, 0 के बराबर नहीं है और ? के बराबर नहीं है, तो दोनों श्रृंखलाएँ समान व्यवहार करती हैं। इस प्रकार, श्रृंखला अलग हो जाती है, जिसका अर्थ है कि मूल श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण नहीं है।

बी) इसके बाद, हम सशर्त अभिसरण के लिए मूल श्रृंखला की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए लाइबनिज़ परीक्षण (प्रमेय 1, खंड 3.1) की शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। शर्त 1): , कहाँ, अर्थात्। यह शृंखला बारी-बारी से चल रही है। श्रृंखला की शर्तों की मोनोटोनिक कमी के बारे में स्थिति 2) की जांच करने के लिए, हम निम्नलिखित विधि का उपयोग करते हैं। पर परिभाषित सहायक फ़ंक्शन पर विचार करें (फ़ंक्शन ऐसा है जैसे हमारे पास है)। एकरसता के लिए इस फ़ंक्शन की जांच करने के लिए, आइए इसका व्युत्पन्न ढूंढें:। यह व्युत्पन्न पर. नतीजतन, फ़ंक्शन x के निर्दिष्ट मानों के लिए नीरस रूप से घटता है। यह मानते हुए, हम कहाँ पहुँचते हैं। इसका मतलब है कि शर्त 2) संतुष्ट है। शर्त 3) की जाँच करने के लिए हम सामान्य पद की सीमा ज्ञात करते हैं:, अर्थात्। तीसरी शर्त पूरी हो गई है. इस प्रकार, मूल श्रृंखला के लिए लाइबनिज़ परीक्षण की सभी शर्तें संतुष्ट हैं, अर्थात। यह एकत्रित हो जाता है।

उत्तर: श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

पूर्णतया और सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के गुण

संपत्ति 1. यदि कोई श्रृंखला पूर्णतः अभिसरण है, तो यह अपने पदों के किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए पूर्णतः अभिसरण करती है, और श्रृंखला का योग पदों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। अगर? इसके सभी सकारात्मक शब्दों का योग, है ना? ऋणात्मक पदों के सभी निरपेक्ष मानों का योग, तो श्रृंखला का योग बराबर है।

संपत्ति 2. यदि श्रृंखला पूर्णतः अभिसारी है और, तो श्रृंखला भी पूर्णतः अभिसारी है।

संपत्ति 3. यदि श्रृंखला पूर्णतः अभिसारी है, तो श्रृंखला भी पूर्णतः अभिसारी है।

संपत्ति 4 (रीमैन का प्रमेय)। यदि श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, तो चाहे हम कोई भी संख्या A लें, हम इस श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि इसका योग बिल्कुल A के बराबर हो; इसके अलावा, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करना संभव है ताकि इसके बाद यह अलग हो जाए।