किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को घटाना, उदाहरण, समाधान। प्राकृत संख्याओं को स्तंभ, उदाहरण, समाधान द्वारा विभाजित करना

इस गणित कार्यक्रम से आप बहुपदों को स्तंभ द्वारा विभाजित कर सकते हैं।
एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने का कार्यक्रम केवल समस्या का उत्तर नहीं देता है, यह स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत समाधान प्रदान करता है, अर्थात। गणित और/या बीजगणित में ज्ञान का परीक्षण करने के लिए समाधान प्रक्रिया प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम सामान्य शिक्षा स्कूलों में हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी करते समय, एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय और माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए उपयोगी हो सकता है।

या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है। यदि आपको आवश्यकता हो याबहुपद को सरल बनाएं याबहुपदों को गुणा करें

बहुपदों को विभाजित करें
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थोड़ा सिद्धांत.

एक बहुपद को एक स्तम्भ (कोने) द्वारा बहुपद (द्विपद) में विभाजित करना बीजगणित मेंबहुपदों को एक स्तंभ (कोने) से विभाजित करना

बहुपद-दर-बहुपद विभाजन एल्गोरिथ्म संख्याओं के स्तंभ विभाजन का एक सामान्यीकृत रूप है जिसे आसानी से हाथ से कार्यान्वित किया जा सकता है।

किसी भी बहुपद \(f(x) \) और \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) के लिए अद्वितीय बहुपद \(q(x) \) और \(r( x ) \), ऐसा कि
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
और \(r(x)\) की डिग्री \(g(x)\) से कम है।

बहुपदों को एक स्तंभ (कोने) में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का लक्ष्य किसी दिए गए लाभांश \(f(x) \) के लिए भागफल \(q(x) \) और शेषफल \(r(x) \) ज्ञात करना है। और गैर-शून्य भाजक \(g(x) \)

उदाहरण

आइए एक स्तंभ (कोने) का उपयोग करके एक बहुपद को दूसरे बहुपद (द्विपद) से विभाजित करें:
\(\बड़ा \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

इन बहुपदों का भागफल और शेषफल निम्नलिखित चरणों का पालन करके ज्ञात किया जा सकता है:
1. लाभांश के पहले तत्व को भाजक के उच्चतम तत्व से विभाजित करें, परिणाम को पंक्ति \((x^3/x = x^2)\) के नीचे रखें

3. गुणा के बाद प्राप्त बहुपद को लाभांश से घटाएं, परिणाम को पंक्ति के नीचे लिखें \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42)\)

4. रेखा के नीचे लिखे बहुपद को लाभांश के रूप में उपयोग करते हुए, पिछले 3 चरणों को दोहराएं।

5. चरण 4 दोहराएँ.

6. एल्गोरिथम का अंत.
इस प्रकार, बहुपद \(q(x)=x^2-9x-27\) बहुपदों के विभाजन का भागफल है, और \(r(x)=-123\) बहुपदों के विभाजन का शेषफल है।

बहुपदों को विभाजित करने का परिणाम दो समानताओं के रूप में लिखा जा सकता है:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
या
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

किसी बच्चे को गणितीय संक्रियाएँ सिखाने में महत्वपूर्ण चरणों में से एक अभाज्य संख्याओं को विभाजित करने की क्रिया सीखना है। किसी बच्चे को विभाजन कैसे समझाएं, आप इस विषय पर कब महारत हासिल करना शुरू कर सकते हैं?

किसी बच्चे को भाग सिखाने के लिए, यह आवश्यक है कि शिक्षण के समय तक वह पहले से ही जोड़, घटाव जैसी गणितीय संक्रियाओं में महारत हासिल कर चुका हो, और उसे गुणा और भाग की संक्रियाओं के सार की भी स्पष्ट समझ हो। यानी उसे यह समझना चाहिए कि विभाजन किसी चीज का बराबर भागों में बंट जाना है। गुणन संक्रियाएँ सिखाना और गुणन सारणी सीखना भी आवश्यक है।

इसके बारे में मैं पहले ही लिख चुका हूं यह लेख आपके लिए उपयोगी हो सकता है।

हम खेल-खेल में भागों में विभाजन (विभाजन) की क्रिया में महारत हासिल कर लेते हैं

इस स्तर पर, बच्चे में यह समझ पैदा करना आवश्यक है कि विभाजन किसी चीज़ को समान भागों में विभाजित करना है। किसी बच्चे को यह सिखाने का सबसे आसान तरीका उसे अपने दोस्तों या परिवार के सदस्यों के बीच एक निश्चित संख्या में वस्तुओं को साझा करने के लिए आमंत्रित करना है।

मान लीजिए कि आप 8 समान क्यूब्स लेते हैं और अपने बच्चे से उन्हें दो बराबर भागों में विभाजित करने के लिए कहते हैं - उसके लिए और किसी अन्य व्यक्ति के लिए। कार्य को भिन्न और जटिल बनाएं, बच्चे को 8 घनों को दो के बीच नहीं, बल्कि चार लोगों में विभाजित करने के लिए आमंत्रित करें। उसके साथ परिणाम का विश्लेषण करें। घटकों को बदलें, अलग-अलग संख्या में वस्तुओं और लोगों के साथ प्रयास करें जिनमें इन वस्तुओं को विभाजित करने की आवश्यकता है।

महत्वपूर्ण:सुनिश्चित करें कि सबसे पहले बच्चा सम संख्या में वस्तुओं के साथ काम करे, ताकि विभाजन का परिणाम भागों की समान संख्या हो। यह अगले चरण में उपयोगी होगा, जब बच्चे को यह समझने की आवश्यकता होगी कि भाग, गुणन का व्युत्क्रम संक्रिया है।

गुणन तालिका का उपयोग करके गुणा और भाग करें

अपने बच्चे को समझाएं कि गणित में गुणन के विपरीत को भाग कहा जाता है। गुणन तालिका का उपयोग करते हुए, किसी भी उदाहरण का उपयोग करके छात्र को गुणन और भाग के बीच संबंध प्रदर्शित करें।

उदाहरण: 4x2=8. अपने बच्चे को याद दिलाएँ कि गुणन का परिणाम दो संख्याओं का गुणनफल होता है। इसके बाद समझाएं कि भाग, गुणन का व्युत्क्रम है और इसे स्पष्ट रूप से समझाएं।

परिणामी उत्पाद "8" को उदाहरण से किसी भी कारक "2" या "4" से विभाजित करें, और परिणाम हमेशा एक अलग कारक होगा जिसका उपयोग ऑपरेशन में नहीं किया गया था।

आपको युवा छात्र को उन श्रेणियों के नाम भी सिखाने होंगे जो विभाजन के संचालन का वर्णन करते हैं - "लाभांश", "भाजक" और "भागफल"। एक उदाहरण का उपयोग करके दिखाएँ कि कौन सी संख्याएँ लाभांश, भाजक और भागफल हैं। इस ज्ञान को समेकित करें, आगे के प्रशिक्षण के लिए यह आवश्यक है!

मूलतः, आपको अपने बच्चे को गुणन सारणी को उल्टा सिखाने की आवश्यकता है, और इसे गुणन सारणी की तरह ही याद रखना भी आवश्यक है, क्योंकि यह तब आवश्यक होगा जब आप दीर्घ विभाजन सीखना शुरू करेंगे।

कॉलम से विभाजित करें - आइए एक उदाहरण दें

पाठ शुरू करने से पहले, अपने बच्चे के साथ याद रखें कि भाग संक्रिया के दौरान संख्याओं को क्या कहा जाता है। "भाजक", "विभाज्य", "भागफल" क्या है? इन श्रेणियों की सटीक और त्वरित पहचान करना सिखाएं। यह आपके बच्चे को अभाज्य संख्याओं को विभाजित करना सिखाते समय बहुत उपयोगी होगा।

हम स्पष्ट रूप से समझाते हैं

आइए 938 को 7 से विभाजित करें। इस उदाहरण में, 938 लाभांश है, 7 भाजक है। परिणाम एक भागफल होगा, और यही गणना करने की आवश्यकता है।

स्टेप 1. हम संख्याओं को "कोने" से अलग करते हुए लिखते हैं।

चरण दो।विद्यार्थी को लाभांश की संख्याएँ दिखाएँ और उनसे वह छोटी संख्या चुनने को कहें जो भाजक से बड़ी हो। तीन संख्याओं 9, 3 और 8 में से यह संख्या 9 होगी। अपने बच्चे को यह विश्लेषण करने के लिए आमंत्रित करें कि संख्या 7 को संख्या 9 में कितनी बार समाहित किया जा सकता है? यह सही है, बस एक बार। इसलिए, हमारे द्वारा दर्ज किया गया पहला परिणाम 1 होगा।

चरण 3.आइए कॉलम द्वारा विभाजन के डिज़ाइन पर आगे बढ़ें:

हम भाजक 7x1 को गुणा करते हैं और 7 प्राप्त करते हैं। हम परिणामी परिणाम को अपने लाभांश 938 की पहली संख्या के तहत लिखते हैं और इसे हमेशा की तरह एक कॉलम में घटाते हैं। यानी 9 में से 7 घटाएं और 2 प्राप्त करें।

हम परिणाम लिखते हैं.

चरण 4।हमें जो संख्या दिखाई देती है वह भाजक से कम है, इसलिए हमें इसे बढ़ाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम इसे अपने लाभांश की अगली अप्रयुक्त संख्या के साथ जोड़ते हैं - यह 3 होगा। हम परिणामी संख्या 2 को 3 प्रदान करते हैं।

चरण 5.अगला, हम पहले से ज्ञात एल्गोरिथम के अनुसार आगे बढ़ते हैं। आइए विश्लेषण करें कि परिणामी संख्या 23 में हमारा भाजक 7 कितनी बार समाहित है? यह सही है, तीन बार. हम भागफल में संख्या 3 निश्चित करते हैं। और गुणनफल का परिणाम - 21 (7*3) नीचे एक कॉलम में संख्या 23 के नीचे लिखा हुआ है।

चरण.6अब जो कुछ बचा है वह हमारे भागफल की अंतिम संख्या ज्ञात करना है। पहले से ही परिचित एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, हम कॉलम में गणना करना जारी रखते हैं। कॉलम (23-21) में घटाने पर हमें अंतर प्राप्त होता है। यह 2 के बराबर है.

लाभांश से हमारे पास एक संख्या अप्रयुक्त रह जाती है - 8. हम इसे घटाने के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या 2 के साथ जोड़ते हैं, हमें मिलता है - 28।

चरण.7आइए विश्लेषण करें कि परिणामी संख्या में हमारा भाजक 7 कितनी बार समाहित है? यह सही है, 4 बार. हम परिणामी संख्या को परिणाम में लिखते हैं। तो, हमें एक कॉलम से भाग देने पर प्राप्त भागफल = 134 प्राप्त होता है।

बच्चे को डिवीजन कैसे सिखाएं - कौशल को मजबूत करना

कई स्कूली बच्चों को गणित में समस्या होने का मुख्य कारण सरल अंकगणितीय गणनाओं को शीघ्रता से करने में असमर्थता है। और प्राथमिक विद्यालय में सारा गणित इसी आधार पर बनाया गया है। विशेष रूप से अक्सर समस्या गुणा और भाग में होती है।
एक बच्चे को यह सीखने के लिए कि उसके दिमाग में डिवीजन गणनाओं को जल्दी और कुशलता से कैसे किया जाए, सही शिक्षण विधियों और कौशल का समेकन आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम आपको प्रभाग कौशल सीखने पर आज की लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों का उपयोग करने की सलाह देते हैं। कुछ को बच्चों के लिए अपने माता-पिता के साथ अध्ययन करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, अन्य को स्वतंत्र कार्य के लिए डिज़ाइन किया गया है।

1. "विभाजन। लेवल 3. वर्कबुक" अतिरिक्त शिक्षा के लिए सबसे बड़े अंतरराष्ट्रीय केंद्र कुमोन से
2. "विभाजन। लेवल 4. वर्कबुक'' कुमोन से
3. “मानसिक अंकगणित नहीं।” बच्चे को तेजी से गुणा और भाग सिखाने की एक प्रणाली। 21 दिन में. नोटपैड-सिम्युलेटर।" श्री अखमदुलिन से - सबसे अधिक बिकने वाली शैक्षिक पुस्तकों के लेखक

जब आप किसी बच्चे को लॉन्ग डिवीजन सिखाते हैं तो सबसे महत्वपूर्ण बात एल्गोरिदम में महारत हासिल करना है, जो सामान्य तौर पर काफी सरल है।

यदि कोई बच्चा गुणन सारणी और "उल्टा" भाग का उपयोग करने में अच्छा है, तो उसे कोई कठिनाई नहीं होगी। हालाँकि, अर्जित कौशल का लगातार अभ्यास करना बहुत महत्वपूर्ण है। एक बार जब आपको एहसास हो जाए कि आपके बच्चे ने विधि का सार समझ लिया है तो वहां मत रुकें।

अपने बच्चे को डिविजन संचालन आसानी से सिखाने के लिए आपको चाहिए:

• ताकि दो या तीन साल की उम्र में वह संपूर्ण रिश्ते में महारत हासिल कर ले। उसे एक अविभाज्य श्रेणी के रूप में संपूर्ण की समझ और एक स्वतंत्र वस्तु के रूप में संपूर्ण के एक अलग हिस्से की धारणा विकसित करनी चाहिए। उदाहरण के लिए, एक खिलौना ट्रक एक संपूर्ण है, और इसका शरीर, पहिए, दरवाजे इस संपूर्ण के हिस्से हैं।
• ताकि प्राथमिक विद्यालय की उम्र में बच्चा स्वतंत्र रूप से संख्याओं के जोड़ और घटाव के साथ काम कर सके और गुणा और भाग की प्रक्रियाओं का सार समझ सके।

एक बच्चे को गणित का आनंद लेने के लिए, न केवल सीखने के दौरान, बल्कि रोजमर्रा की स्थितियों में भी गणित और गणितीय कार्यों में उसकी रुचि जगाना आवश्यक है।

इसलिए, अपने बच्चे के अवलोकन कौशल को प्रोत्साहित करें और विकसित करें, निर्माण, खेल और प्रकृति के अवलोकन के दौरान गणितीय संचालन (गिनती और विभाजन संचालन, "अंश-संपूर्ण" संबंधों का विश्लेषण, आदि) के साथ सादृश्य बनाएं।

शिक्षक, बाल विकास केंद्र विशेषज्ञ
द्रुझिनिना ऐलेना
परियोजना के लिए विशेष रूप से वेबसाइट

माता-पिता के लिए वीडियो कहानी, बच्चे को लॉन्ग डिवीजन को सही तरीके से कैसे समझाया जाए:

स्तंभ? यदि आपके बच्चे ने स्कूल में कुछ नहीं सीखा है तो आप घर पर स्वतंत्र रूप से लंबे विभाजन के कौशल का अभ्यास कैसे कर सकते हैं? कॉलम द्वारा विभाजित करना ग्रेड 2-3 में सिखाया जाता है; माता-पिता के लिए, यह एक पारित चरण है, लेकिन यदि आप चाहें, तो आप सही नोटेशन को याद कर सकते हैं और अपने छात्र को समझने योग्य तरीके से समझा सकते हैं कि उसे जीवन में क्या चाहिए।

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दूसरी-तीसरी कक्षा के बच्चे को दीर्घ विभाजन करना सीखने के लिए क्या पता होना चाहिए?

2-3 कक्षा के बच्चे को विभाजन सही ढंग से कैसे समझाएँ ताकि उसे भविष्य में समस्या न हो? सबसे पहले, आइए जाँच करें कि क्या ज्ञान में कोई कमी है। सुनिश्चित करें:

• बच्चा स्वतंत्र रूप से जोड़ और घटाव संचालन कर सकता है;
• संख्याओं के अंक जानता है;
• दिल से जानता है.

किसी बच्चे को "विभाजन" क्रिया का अर्थ कैसे समझाएं?

• बच्चे को स्पष्ट उदाहरण का उपयोग करके सब कुछ समझाया जाना चाहिए।

परिवार के सदस्यों या दोस्तों के बीच कुछ साझा करने के लिए कहें। उदाहरण के लिए, कैंडी, केक के टुकड़े, आदि। यह महत्वपूर्ण है कि बच्चा सार को समझे - आपको समान रूप से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात। एक का पता लगाए बिना। विभिन्न उदाहरणों के साथ अभ्यास करें.

मान लीजिए कि एथलीटों के 2 समूहों को बस में सीटें लेनी होंगी। हम जानते हैं कि प्रत्येक समूह में कितने एथलीट हैं और बस में कितनी सीटें हैं। आपको यह पता लगाना होगा कि एक और दूसरे समूह को कितने टिकट खरीदने की ज़रूरत है। अथवा 12 विद्यार्थियों को उतनी ही 24 कॉपियाँ बाँट दी जाएँ जितनी प्रत्येक को मिलें।

• जब बच्चा विभाजन के सिद्धांत का सार समझ जाए, तो इस संक्रिया का गणितीय अंकन दिखाएं और घटकों के नाम बताएं।
• बताएं भाग गुणन की विपरीत क्रिया है, अन्दर बाहर गुणन।

उदाहरण के तौर पर एक तालिका का उपयोग करके विभाजन और गुणन के बीच संबंध दिखाना सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, 3 गुना 4 बराबर 12.
3 पहला गुणक है;
4 - दूसरा कारक;
12 गुणनफल (गुणन का परिणाम) है।

यदि 12 (उत्पाद) को 3 (पहला कारक) से विभाजित किया जाता है, तो हमें 4 (दूसरा कारक) मिलता है।

विभाजित होने पर घटकअलग-अलग कहा जाता है:

12 - लाभांश;
3 - विभक्त;
4 - भागफल (विभाजन का परिणाम)।

किसी बच्चे को दो अंकों की संख्या को एकल अंक वाली संख्या से विभाजित करने के बारे में कैसे समझाया जाए जो कॉलम में नहीं है?

हम वयस्कों के लिए, पुराने तरीके से "कोने में" लिखना आसान है - और यही इसका अंत है। लेकिन! बच्चों ने अभी तक लॉन्ग डिवीजन पूरा नहीं किया है, उन्हें क्या करना चाहिए? कॉलम नोटेशन का उपयोग किए बिना किसी बच्चे को दो अंकों की संख्या को एकल अंक वाली संख्या से विभाजित करना कैसे सिखाएं?

आइए उदाहरण के तौर पर 72:3 लें।

यह सरल है! हम 72 को उन संख्याओं में तोड़ते हैं जिन्हें मौखिक रूप से आसानी से 3 से विभाजित किया जा सकता है:
72=30+30+12.

सब कुछ तुरंत स्पष्ट हो गया: हम 30 को 3 से विभाजित कर सकते हैं, और एक बच्चा 12 को 3 से आसानी से विभाजित कर सकता है।
जो कुछ बचा है वह परिणामों को जोड़ना है, अर्थात। 72:3=10 (30 को 3 से विभाजित करने पर प्राप्त) + 10 (30 को 3 से विभाजित करने पर) + 4 (12 को 3 से विभाजित करने पर)।

72:3=24
हमने लंबे विभाजन का उपयोग नहीं किया, लेकिन बच्चे ने तर्क को समझा और बिना किसी कठिनाई के गणना पूरी कर ली।

सरल उदाहरणों के बाद, आप लंबे भाग का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं और अपने बच्चे को "कोने" में उदाहरणों को सही ढंग से लिखना सिखा सकते हैं। आरंभ करने के लिए, केवल शेषफल के बिना विभाजन के उदाहरणों का उपयोग करें।

किसी बच्चे को दीर्घ विभाजन कैसे समझाएँ: समाधान एल्गोरिथ्म

बड़ी संख्याओं को आपके दिमाग में विभाजित करना कठिन होता है; कॉलम डिवीजन नोटेशन का उपयोग करना आसान होता है। अपने बच्चे को सही ढंग से गणना करना सिखाने के लिए, एल्गोरिथम का पालन करें:

• निर्धारित करें कि उदाहरण में लाभांश और भाजक कहाँ हैं। अपने बच्चे से संख्याओं के नाम बताने को कहें (हम किसको किससे भाग देंगे)।

213:3
213 - लाभांश
3 - विभाजक

• लाभांश - "कोना" - विभाजक लिखिए।

• निर्धारित करें कि लाभांश के किस भाग का उपयोग हम किसी दी गई संख्या से विभाजित करने के लिए कर सकते हैं।

हम इस प्रकार तर्क करते हैं: 2, 3 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हम 21 लेते हैं।

• निर्धारित करें कि विभाजक चयनित भाग में कितनी बार "फिट" होता है।

21 को 3 से विभाजित करें - 7 प्रत्येक लें।

• भाजक को चयनित संख्या से गुणा करें, परिणाम को "कोने" के नीचे लिखें।

7 को 3 से गुणा करने पर 21 प्राप्त होता है। इसे लिख लें।

• अंतर (शेष) ज्ञात कीजिए।

तर्क के इस चरण में, अपने बच्चे को स्वयं की जाँच करना सिखाएँ। यह महत्वपूर्ण है कि वह यह समझे कि घटाने का परिणाम हमेशा भाजक से कम होना चाहिए। यदि यह काम नहीं करता है, तो आपको चयनित संख्या बढ़ाने और कार्रवाई फिर से करने की आवश्यकता है।

• चरणों को तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न हो जाए।

2-3 कक्षा के बच्चे को कॉलम से भाग देना सिखाने के लिए सही तरीके से तर्क कैसे करें

एक बच्चे को विभाजन कैसे समझाएं? 204:12=?
1. इसे एक कॉलम में लिखें.
204 लाभांश है, 12 भाजक है।

2. 2, 12 से विभाज्य नहीं है, इसलिए हम 20 लेते हैं।
3. 20 को 12 से विभाजित करने के लिए, 1 लें। "कोने" के नीचे 1 लिखें।
4. 1 को 12 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है। हम इसे 20 के अंतर्गत लिखते हैं।
5. 20 घटा 12 प्राप्त होता है 8.
आइए स्वयं जांचें। क्या 8, 12 (भाजक) से कम है? ठीक है, यह सही है, चलिए आगे बढ़ते हैं।

6. 8 के आगे हम 4 लिखते हैं। 84 को 12 से विभाजित करें। 84 प्राप्त करने के लिए हमें 12 को कितना गुणा करना होगा?
तुरंत कहना कठिन है, हम चयन पद्धति का उपयोग करने का प्रयास करेंगे।
उदाहरण के लिए, आइए 8 लें, लेकिन उन्हें अभी लिखें नहीं। हम मौखिक रूप से गिनते हैं: 8 को 12 से गुणा करने पर 96 होता है। और हमारे पास 84 होता है! फिट नहीं बैठता.
आइए छोटे प्रयास करें... उदाहरण के लिए, आइए 6 लें। हम स्वयं को मौखिक रूप से जांचते हैं: 6 को 12 से गुणा करने पर 72 होता है। 84-72=12। हमें अपने भाजक के समान संख्या प्राप्त हुई, लेकिन यह या तो शून्य या 12 से कम होनी चाहिए। इसलिए इष्टतम संख्या 7 है!

7. हम "कोने" के नीचे 7 लिखते हैं और गणना करते हैं। 7 को 12 से गुणा करने पर 84 प्राप्त होता है।
8. हम परिणाम को एक कॉलम में लिखते हैं: 84 घटा 84 शून्य के बराबर है। हुर्रे! हमने सही निर्णय लिया!

तो, आपने अपने बच्चे को कॉलम द्वारा विभाजित करना सिखाया है, अब जो कुछ बचा है वह इस कौशल का अभ्यास करना और इसे स्वचालितता में लाना है।

बच्चों के लिए दीर्घ विभाजन सीखना कठिन क्यों है?

याद रखें कि गणित में समस्याएँ सरल अंकगणितीय संक्रियाओं को शीघ्रता से करने में असमर्थता के कारण उत्पन्न होती हैं। प्राथमिक विद्यालय में, आपको जोड़ और घटाव का अभ्यास करना होगा और इसे स्वचालित बनाना होगा, और गुणन तालिका को शुरू से अंत तक सीखना होगा। सभी! बाकी तकनीक का मामला है, और इसे अभ्यास के साथ विकसित किया जाता है।

धैर्य रखें, आलसी न हों, बच्चे को एक बार फिर समझाएं कि उसने पाठ में क्या नहीं सीखा, थकाऊ लेकिन सावधानीपूर्वक तर्क एल्गोरिथ्म को समझें और तैयार उत्तर देने से पहले प्रत्येक मध्यवर्ती ऑपरेशन के माध्यम से बात करें। कौशल का अभ्यास करने के लिए अतिरिक्त उदाहरण दें, गणित के खेल खेलें - इससे फल मिलेगा और आप जल्द ही परिणाम देखेंगे और अपने बच्चे की सफलता पर खुशी मनाएंगे। यह दिखाना सुनिश्चित करें कि आप अर्जित ज्ञान को रोजमर्रा की जिंदगी में कहां और कैसे लागू कर सकते हैं।

प्रिय पाठकों! हमें बताएं कि आप अपने बच्चों को दीर्घ विभाजन करना कैसे सिखाते हैं, आपने किन कठिनाइयों का सामना किया है और आपने उनसे कैसे पार पाया है।

स्कूल में इन क्रियाओं का सरल से जटिल तक अध्ययन किया जाता है। इसलिए, सरल उदाहरणों का उपयोग करके इन परिचालनों को करने के लिए एल्गोरिदम को पूरी तरह से समझना जरूरी है। ताकि बाद में दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में विभाजित करने में कोई कठिनाई न हो। आख़िरकार, यह ऐसे कार्यों का सबसे कठिन संस्करण है।

इस विषय में लगातार अध्ययन की आवश्यकता है। ज्ञान में अंतराल यहां अस्वीकार्य है। प्रत्येक विद्यार्थी को यह सिद्धांत पहली कक्षा में ही सीख लेना चाहिए। इसलिए, यदि आप लगातार कई पाठ चूक जाते हैं, तो आपको सामग्री में स्वयं महारत हासिल करनी होगी। अन्यथा बाद में न केवल गणित, बल्कि इससे जुड़े अन्य विषयों में भी दिक्कतें आएंगी।

गणित का सफलतापूर्वक अध्ययन करने के लिए दूसरी शर्त यह है कि जोड़, घटाव और गुणा में महारत हासिल करने के बाद ही लंबे विभाजन के उदाहरणों पर आगे बढ़ना है।

यदि किसी बच्चे ने गुणन सारणी नहीं सीखी है तो उसके लिए भाग देना कठिन होगा। वैसे, इसे पायथागॉरियन तालिका का उपयोग करके पढ़ाना बेहतर है। इसमें कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं है, और इस मामले में गुणन सीखना आसान है।

किसी कॉलम में प्राकृत संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है?

यदि भाग और गुणा के कॉलम में उदाहरणों को हल करने में कठिनाई हो, तो आपको गुणा से समस्या को हल करना शुरू करना चाहिए। चूँकि विभाजन गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया है:

1. दो संख्याओं को गुणा करने से पहले आपको उन्हें ध्यान से देखना होगा। अधिक अंकों (लंबे) वाले को चुनें और पहले उसे लिख लें। इसके नीचे दूसरा रखें. इसके अलावा, संबंधित श्रेणी की संख्याएं उसी श्रेणी के अंतर्गत होनी चाहिए। अर्थात पहली संख्या का सबसे दाहिना अंक दूसरे के सबसे दायें अंक के ऊपर होना चाहिए।
2. दाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, निचली संख्या के सबसे दाहिने अंक को शीर्ष संख्या के प्रत्येक अंक से गुणा करें। उत्तर को पंक्ति के नीचे लिखें ताकि उसका अंतिम अंक उस अंक के नीचे हो जिसे आपने गुणा किया है।
3. निचली संख्या के दूसरे अंक के साथ भी इसे दोहराएं। लेकिन गुणन के परिणाम को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित करना होगा। इस स्थिति में, इसका अंतिम अंक उस अंक के नीचे होगा जिससे इसे गुणा किया गया था।

इस गुणन को एक कॉलम में तब तक जारी रखें जब तक कि दूसरे कारक की संख्याएँ समाप्त न हो जाएँ। अब इन्हें मोड़ने की जरूरत है. यह वह उत्तर होगा जिसकी आप तलाश कर रहे हैं।

दशमलव को गुणा करने के लिए एल्गोरिदम

सबसे पहले, आपको यह कल्पना करने की आवश्यकता है कि दिए गए भिन्न दशमलव नहीं हैं, बल्कि प्राकृतिक हैं। अर्थात्, उनमें से अल्पविराम हटा दें और फिर पिछले मामले में बताए अनुसार आगे बढ़ें।

अंतर तब शुरू होता है जब उत्तर लिखा जाता है। इस समय, दोनों अंशों में दशमलव बिंदुओं के बाद आने वाली सभी संख्याओं को गिनना आवश्यक है। आपको उत्तर के अंत से उनकी संख्या को गिनने और वहां अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है।

इस एल्गोरिथम को एक उदाहरण का उपयोग करके चित्रित करना सुविधाजनक है: 0.25 x 0.33:

शिक्षण प्रभाग कहाँ से शुरू करें?

दीर्घ भाग के उदाहरणों को हल करने से पहले, आपको उन संख्याओं के नाम याद रखने होंगे जो दीर्घ भाग के उदाहरण में दिखाई देते हैं। उनमें से पहला (जो विभाजित है) विभाज्य है। दूसरा (से विभाजित) भाजक है। उत्तर निजी है.

इसके बाद, हम एक साधारण रोजमर्रा के उदाहरण का उपयोग करके इस गणितीय ऑपरेशन का सार समझाएंगे। उदाहरण के लिए, यदि आप 10 मिठाइयाँ लेते हैं, तो उन्हें माँ और पिताजी के बीच समान रूप से बाँटना आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको उन्हें अपने माता-पिता और भाई को देने की ज़रूरत पड़े?

इसके बाद, आप विभाजन नियमों से परिचित हो सकते हैं और विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके उनमें महारत हासिल कर सकते हैं। पहले सरल, और फिर अधिकाधिक जटिल की ओर बढ़ें।

संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम

सबसे पहले, आइए हम एक अंक वाली संख्या से विभाज्य प्राकृतिक संख्याओं की प्रक्रिया प्रस्तुत करें। वे बहु-अंकीय भाजक या दशमलव भिन्न के लिए भी आधार होंगे। केवल तभी आपको छोटे बदलाव करने चाहिए, लेकिन उस पर बाद में और अधिक:

• दीर्घ विभाजन करने से पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि लाभांश और भाजक कहाँ हैं।
• लाभांश लिखिए. इसके दाहिनी ओर विभाजक है।
• अंतिम कोने के पास बाईं ओर और नीचे एक कोना बनाएं।
• अपूर्ण लाभांश ज्ञात करें, अर्थात वह संख्या जो विभाजन के लिए न्यूनतम होगी। आमतौर पर इसमें एक अंक, अधिकतम दो अंक होते हैं।
• वह संख्या चुनें जो उत्तर में सबसे पहले लिखी जाएगी। यह वह संख्या होनी चाहिए जितनी बार भाजक लाभांश में फिट बैठता है।
• इस संख्या को भाजक से गुणा करने का परिणाम लिखिए।
• इसे अपूर्ण लाभांश के अंतर्गत लिखें। घटाव करना.
• जो भाग पहले ही विभाजित हो चुका है उसके बाद का पहला अंक शेष में जोड़ें।
• उत्तर के लिए फिर से संख्या चुनें.
• गुणा और घटाव दोहराएँ. यदि शेषफल शून्य है और लाभांश समाप्त हो गया है, तो उदाहरण पूरा हो गया है। अन्यथा, चरणों को दोहराएं: संख्या हटाएं, संख्या चुनें, गुणा करें, घटाएं।

यदि भाजक में एक से अधिक अंक हों तो दीर्घ विभाजन को कैसे हल करें?

एल्गोरिथ्म स्वयं ऊपर वर्णित से पूरी तरह मेल खाता है। अंतर अपूर्ण लाभांश में अंकों की संख्या का होगा। अब उनमें से कम से कम दो होने चाहिए, लेकिन यदि वे भाजक से कम निकलते हैं, तो आपको पहले तीन अंकों के साथ काम करना होगा।

इस विभाजन में एक और बारीकियां है. तथ्य यह है कि शेषफल और उसमें जोड़ी गई संख्या कभी-कभी भाजक से विभाज्य नहीं होती है। फिर आपको क्रम से एक और नंबर जोड़ना होगा। लेकिन उत्तर शून्य होना चाहिए. यदि आप तीन अंकों की संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित कर रहे हैं, तो आपको दो से अधिक अंक हटाने की आवश्यकता हो सकती है। फिर एक नियम पेश किया जाता है: उत्तर में हटाए गए अंकों की संख्या से एक शून्य कम होना चाहिए।

आप उदाहरण - 12082:863 का उपयोग करके इस विभाजन पर विचार कर सकते हैं।

• इसमें अधूरा लाभांश संख्या 1208 निकलता है। संख्या 863 इसमें केवल एक बार रखी जाती है। इसलिए, उत्तर 1 माना जाता है, और 1208 के नीचे 863 लिखें।
• घटाने के बाद शेषफल 345 है।
• आपको इसमें नंबर 2 जोड़ना होगा.
• संख्या 3452 में 863 चार बार आता है।
• उत्तर के रूप में चार अवश्य लिखें। इसके अलावा, जब 4 से गुणा किया जाता है, तो यही वही संख्या प्राप्त होती है।
• घटाने के बाद शेषफल शून्य है। यानी बंटवारा पूरा हो गया.

उदाहरण में उत्तर संख्या 14 होगी।

यदि लाभांश शून्य पर समाप्त हो तो क्या होगा?

या कुछ शून्य? इस मामले में, शेषफल शून्य है, लेकिन लाभांश में अभी भी शून्य है। निराश होने की कोई जरूरत नहीं है, सब कुछ जितना लगता है उससे कहीं अधिक सरल है। उत्तर में अविभाजित रहे सभी शून्यों को जोड़ देना ही पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आपको 400 को 5 से विभाजित करना होगा। अधूरा लाभांश 40 है। पांच इसमें 8 बार फिट होते हैं। इसका मतलब है कि उत्तर 8 लिखा जाना चाहिए। घटाने पर कोई शेष नहीं बचे। अर्थात् विभाजन तो पूरा हो जाता है, परन्तु लाभांश में शून्य रह जाता है। इसे उत्तर में जोड़ना होगा. इस प्रकार, 400 को 5 से विभाजित करने पर 80 आता है।

यदि आपको दशमलव भिन्न को विभाजित करने की आवश्यकता हो तो क्या करें?

पुनः, यह संख्या एक प्राकृतिक संख्या की तरह दिखती है, यदि पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने वाला अल्पविराम न हो। इससे पता चलता है कि दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में विभाजित करना ऊपर वर्णित के समान है।

एकमात्र अंतर अर्धविराम का होगा. ऐसा माना जाता है कि भिन्नात्मक भाग से पहला अंक हटाते ही इसे उत्तर में डाल दिया जाता है। इसे कहने का दूसरा तरीका यह है: यदि आपने पूरे भाग को विभाजित करना समाप्त कर लिया है, तो अल्पविराम लगाएं और समाधान को आगे जारी रखें।

दशमलव भिन्नों के साथ दीर्घ विभाजन के उदाहरणों को हल करते समय, आपको यह याद रखना होगा कि दशमलव बिंदु के बाद वाले भाग में किसी भी संख्या में शून्य जोड़ा जा सकता है। कभी-कभी संख्याओं को पूरा करने के लिए यह आवश्यक होता है।

दो दशमलव को विभाजित करना

यह जटिल लग सकता है. लेकिन केवल शुरुआत में. आख़िरकार, भिन्नों के एक स्तंभ को प्राकृतिक संख्या से कैसे विभाजित किया जाए यह पहले से ही स्पष्ट है। इसका मतलब यह है कि हमें इस उदाहरण को पहले से ही परिचित रूप में छोटा करने की आवश्यकता है।

यह करना आसान है. आपको दोनों भिन्नों को 10, 100, 1,000 या 10,000 से गुणा करना होगा, और यदि समस्या के लिए इसकी आवश्यकता हो तो शायद दस लाख से गुणा करना होगा। गुणक का चयन इस आधार पर किया जाना चाहिए कि भाजक के दशमलव भाग में कितने शून्य हैं। यानी परिणाम यह होगा कि आपको भिन्न को किसी प्राकृत संख्या से भाग देना होगा.

और यह सबसे ख़राब स्थिति होगी. आख़िरकार, ऐसा हो सकता है कि इस ऑपरेशन से प्राप्त लाभांश एक पूर्णांक बन जाए। फिर भिन्नों के स्तंभ विभाजन के साथ उदाहरण का समाधान सबसे सरल विकल्प में कम हो जाएगा: प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन।

उदाहरण के तौर पर: 28.4 को 3.2 से विभाजित करें:

• सबसे पहले, उन्हें 10 से गुणा किया जाना चाहिए, क्योंकि दूसरे नंबर में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। गुणा करने पर 284 और 32 प्राप्त होंगे।
• माना जाता है कि उन्हें अलग कर दिया जाएगा. इसके अलावा, पूरी संख्या 284 गुणा 32 है।
• उत्तर के लिए चुनी गई पहली संख्या 8 है। इसे गुणा करने पर 256 प्राप्त होता है। शेष 28 आता है।
• सम्पूर्ण भाग का विभाजन समाप्त हो गया है तथा उत्तर में अल्पविराम आवश्यक है।
• शेष 0 पर हटाएँ।
• फिर से 8 लीजिए.
• शेष: 24. इसमें एक और 0 जोड़ें.
• अब आपको 7 लेने होंगे.
• गुणनफल 224 है, शेषफल 16 है।
• एक और 0 घटाएँ। प्रत्येक 5 घटाएँ और आपको ठीक 160 मिलेगा। शेष 0 है।

विभाजन पूरा हो गया है. उदाहरण 28.4:3.2 का परिणाम 8.875 है।

यदि भाजक 10, 100, 0.1, या 0.01 हो तो क्या होगा?

गुणन की तरह ही, यहां लंबे विभाजन की आवश्यकता नहीं है। अंकों की एक निश्चित संख्या के लिए अल्पविराम को वांछित दिशा में ले जाना ही पर्याप्त है। इसके अलावा, इस सिद्धांत का उपयोग करके, आप पूर्णांक और दशमलव भिन्न दोनों वाले उदाहरणों को हल कर सकते हैं।

इसलिए, यदि आपको 10, 100 या 1,000 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो दशमलव बिंदु को बाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं। अर्थात्, जब कोई संख्या 100 से विभाज्य होती है, तो दशमलव बिंदु को दो अंकों से बाईं ओर जाना चाहिए। यदि लाभांश एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह माना जाता है कि अल्पविराम अंत में है।

यह क्रिया वैसा ही परिणाम देती है जैसे कि संख्या को 0.1, 0.01 या 0.001 से गुणा किया जाए। इन उदाहरणों में, अल्पविराम को भिन्नात्मक भाग की लंबाई के बराबर अंकों की संख्या से बाईं ओर भी ले जाया जाता है।

0.1 (आदि) से विभाजित करने या 10 (आदि) से गुणा करने पर, दशमलव बिंदु को एक अंक (या दो, तीन, शून्य की संख्या या भिन्नात्मक भाग की लंबाई के आधार पर) से दाईं ओर जाना चाहिए।

यह ध्यान देने योग्य है कि लाभांश में दिए गए अंकों की संख्या पर्याप्त नहीं हो सकती है। फिर लुप्त शून्यों को बाईं ओर (पूरे भाग में) या दाईं ओर (दशमलव बिंदु के बाद) जोड़ा जा सकता है।

आवर्त भिन्नों का विभाजन

इस मामले में, कॉलम में विभाजित होने पर सटीक उत्तर प्राप्त करना संभव नहीं होगा। यदि आपका सामना किसी भिन्न से होता है तो किसी उदाहरण को कैसे हल करें? यहां हमें साधारण भिन्नों की ओर बढ़ने की जरूरत है। और फिर उन्हें पहले से सीखे गए नियमों के अनुसार विभाजित करें।

उदाहरण के लिए, आपको 0.(3) को 0.6 से विभाजित करना होगा। पहला अंश आवर्ती है. यह भिन्न 3/9 में परिवर्तित हो जाता है, जिसे घटाने पर 1/3 प्राप्त होता है। दूसरा अंश अंतिम दशमलव है. इसे हमेशा की तरह लिखना और भी आसान है: 6/10, जो 3/5 के बराबर है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने के नियम में विभाजन को गुणन से और भाजक को व्युत्क्रम से बदलने की आवश्यकता होती है। अर्थात्, उदाहरण 1/3 को 5/3 से गुणा करने पर आता है। उत्तर होगा 5/9.

यदि उदाहरण में भिन्न भिन्न हैं...

फिर कई समाधान संभव हैं. सबसे पहले, आप सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलने का प्रयास कर सकते हैं। फिर उपरोक्त एल्गोरिदम का उपयोग करके दो दशमलव को विभाजित करें।

दूसरे, प्रत्येक अंतिम दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता. अक्सर, ऐसे अंश बहुत बड़े हो जाते हैं। और उत्तर बोझिल हैं. इसलिए, पहला दृष्टिकोण अधिक बेहतर माना जाता है।

नामक एक विशेष विधि को अपनाना सुविधाजनक है स्तंभ घटावबहुपद को सरल बनाएं स्तंभ घटाव. घटाने की यह विधि अपने नाम के अनुरूप है, क्योंकि लघुअंत, घटाव और अंतर एक कॉलम में लिखे जाते हैं। मध्यवर्ती गणनाएँ संख्याओं के अंकों के अनुरूप कॉलमों में भी की जाती हैं।

किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को घटाने की सुविधा गणना की सरलता में निहित है। गणनाएँ एक अतिरिक्त तालिका का उपयोग करने और घटाव के गुणों को लागू करने तक कम हो जाती हैं।

आइए जानें कि स्तंभ घटाव कैसे किया जाता है। हम उदाहरणों को हल करने के साथ-साथ घटाव प्रक्रिया पर भी विचार करेंगे। इस तरह से यह स्पष्ट हो जायेगा.

पेज नेविगेशन.

कॉलम द्वारा घटाने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को घटाने के लिए, आपको सबसे पहले यह जानना होगा कि जोड़ तालिका का उपयोग करके घटाव कैसे किया जाता है।

अंततः, प्राकृतिक संख्याओं के स्थानीय मान की परिभाषा की समीक्षा करने में कोई हर्ज नहीं होगा।

उदाहरण सहित कॉलम घटाव.

चलिए रिकॉर्डिंग से शुरू करते हैं। मीनूएंड सबसे पहले लिखा जाता है। मीनूएंड के अंतर्गत सबट्रेंड है। इसके अलावा, यह इस तरह से किया जाता है कि संख्याएँ दाईं ओर से शुरू होकर एक दूसरे के नीचे हों। लिखित संख्याओं के बाईं ओर एक ऋण चिह्न लगाया जाता है, और नीचे एक क्षैतिज रेखा खींची जाती है, जिसके नीचे आवश्यक कार्रवाई करने के बाद परिणाम लिखा जाएगा।

कॉलम द्वारा घटाने पर सही प्रविष्टियों के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। आइए कॉलम में अंतर लिखें 56−9 , अंतर 3 004−1 670 , साथ ही 203 604 500−56 777 .

इसलिए, हमने रिकॉर्डिंग सुलझा ली है।

आइए कॉलम द्वारा घटाव की प्रक्रिया के विवरण पर आगे बढ़ें। इसका सार संगत अंकों के मानों को क्रमिक रूप से घटाना है। सबसे पहले इकाई के स्थान का मान घटाया जाता है, फिर दहाई के स्थान का मान घटाया जाता है, फिर सैकड़े के स्थान का मान घटाया जाता है, आदि। परिणाम उचित स्थानों पर क्षैतिज रेखा के नीचे दर्ज किए जाते हैं। प्रक्रिया पूरी होने के बाद रेखा के नीचे जो संख्या बनती है वह दो मूल प्राकृतिक संख्याओं को घटाने का वांछित परिणाम है।

आइए एक आरेख की कल्पना करें जो एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को घटाने की प्रक्रिया को दर्शाता है।

उपरोक्त आरेख एक कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को घटाने की एक सामान्य तस्वीर देता है, लेकिन यह सभी सूक्ष्मताओं को प्रतिबिंबित नहीं करता है। उदाहरणों को हल करते समय हम इन सूक्ष्मताओं से निपटेंगे। आइए सबसे सरल मामलों से शुरू करें, और फिर हम धीरे-धीरे अधिक जटिल मामलों की ओर बढ़ेंगे जब तक कि हम उन सभी बारीकियों को नहीं समझ लेते जो कॉलम द्वारा घटाने पर उत्पन्न हो सकती हैं।

उदाहरण।

सबसे पहले, संख्या में से एक कॉलम से घटाएँ 74 805 संख्या 24 003 .

समाधान।

आइए इन संख्याओं को कॉलम घटाव विधि के अनुसार लिखें:

हम इकाई अंकों के मानों को घटाकर अर्थात् संख्या में से घटाकर प्रारंभ करते हैं 5 संख्या 3 . हमारे पास जो अतिरिक्त तालिका है उससे 5−3=2 . हम प्राप्त परिणामों को क्षैतिज रेखा के नीचे उसी कॉलम में लिखते हैं जिसमें संख्याएँ स्थित होती हैं 5 और 3 :

अब हम दहाई के स्थान का मान घटाते हैं (हमारे उदाहरण में वे शून्य के बराबर हैं)। हमारे पास है 0−0=0 (हमने पिछले पैराग्राफ में घटाव की इस संपत्ति का उल्लेख किया था)। हम परिणामी शून्य को उसी कॉलम में पंक्ति के नीचे लिखते हैं:

पर चलते हैं। सैकड़ों स्थानीय मान घटाएँ: 8−0=8 (पिछले पैराग्राफ में बताए गए घटाव के गुण के अनुसार)। अब हमारी प्रविष्टि इस प्रकार दिखाई देगी:

आइए हज़ारों स्थानीय मानों को घटाने की ओर आगे बढ़ें: 4−4=0 (यह समान प्राकृत संख्याओं को घटाने का गुण है)। हमारे पास है:

यह दसियों हज़ार स्थानों के मूल्यों को घटाना बाकी है: 7−2=5 . हम परिणामी संख्या को पंक्ति के नीचे सही स्थान पर लिखते हैं:

इससे कॉलम द्वारा घटाव पूरा हो जाता है। संख्या 50 802 , जो नीचे निकला, मूल प्राकृतिक संख्याओं को घटाने का परिणाम है 74 805 और 24 003 .

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें.

उदाहरण।

संख्या में से कॉलम के अनुसार घटाएँ 5 777 संख्या 5 751 .

समाधान।

हम सब कुछ पिछले उदाहरण की तरह ही करते हैं - संबंधित अंकों के मान घटाते हैं। सभी चरणों को पूरा करने के बाद, रिकॉर्ड इस तरह दिखेगा:

रेखा के नीचे हमें एक संख्या मिली, जिसके अंकन में बायीं ओर अंक हैं 0 . यदि ये संख्याएँ 0 त्यागें, हमें मूल प्राकृतिक संख्याओं को घटाने का परिणाम मिलता है। हमारे मामले में, हम दो अंक छोड़ देते हैं 0 , बाईं ओर से उत्पन्न। हमारे पास है: अंतर 5 777−5 751 के बराबर 26 .

इस बिंदु तक, हमने उन प्राकृत संख्याओं को घटा दिया है जिनकी प्रविष्टियों में अंकों की समान संख्या होती है। अब, एक उदाहरण का उपयोग करके, हम समझेंगे कि किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को कैसे घटाया जाता है, जब सबट्रेंड के नोटेशन की तुलना में मीनूएंड के नोटेशन में अधिक संकेत होते हैं।

उदाहरण।

संख्या में से घटाएँ 502 864 संख्या 2 330 .

समाधान।

हम मीनूएंड और सबट्रेंड को एक कॉलम में लिखते हैं:

हम इकाई अंक के मानों को एक-एक करके घटाते हैं: 4−0=4 ; आगे - दहाई: 6−3=3 ; आगे - सैकड़ों: 8−3=5 ; आगे - हजारों: 2−2=0 . हम पाते हैं:

अब, कॉलम द्वारा घटाव को पूरा करने के लिए, हमें अभी भी दसियों हजार स्थानों के मूल्यों को घटाना होगा, और फिर सैकड़ों हजारों स्थानों के मूल्यों को घटाना होगा। लेकिन इन अंकों के मान से (हमारे उदाहरण में, संख्याओं से 0 और 5 ) हमारे पास घटाने के लिए कुछ भी नहीं है (क्योंकि घटाई जाने वाली संख्या 2 330 इन अंकों में अंक नहीं हैं)। यह कैसे हो सकता है? यह बहुत सरल है - इन बिट्स के मानों को क्षैतिज रेखा के नीचे फिर से लिखा जाता है:

यह एक कॉलम के साथ प्राकृतिक संख्याओं का घटाव पूरा करता है 502 864 और 2 330 पुरा होना। अंतर यह है 500 534 .

यह उन मामलों पर विचार करने के लिए बना हुआ है, जब किसी कॉलम द्वारा घटाव के कुछ चरण में, कम की जा रही संख्या के अंक का मान घटाव के संबंधित अंक के मान से कम होता है। इन मामलों में, आपको उच्च रैंक से "उधार" लेना होगा। आइए इसे उदाहरणों से समझते हैं.

उदाहरण।

संख्या में से एक कॉलम से घटाएँ 534 संख्या 71 .

समाधान।

पहले चरण में, हम से घटाते हैं 4 संख्या 1 , हम पाते हैं 3 . हमारे पास है:

अगले चरण में, हमें दहाई के स्थान का मान, यानी संख्या से घटाना होगा 3 संख्या घटाने की जरूरत है 7 . क्योंकि 3<7 , तो हम इन प्राकृतिक संख्याओं को घटा नहीं सकते हैं (प्राकृतिक संख्याओं का घटाव तभी परिभाषित होता है जब घटाव लघुअंत से अधिक न हो)। क्या करें? इस मामले में हम लेते हैं 1 उच्चतम रैंक से एक और इसे "विनिमय" करें। हमारे उदाहरण में, हम "विनिमय" करते हैं 1 एक सौ प्रति 10 दर्जनों. अपने कार्यों को स्पष्ट रूप से प्रतिबिंबित करने के लिए, आइए सैकड़े के स्थान पर संख्या के ऊपर एक मोटा बिंदु लगाएं, और दहाई के स्थान पर संख्या के ऊपर संख्या लिखें 10 एक अलग रंग का उपयोग करना. प्रविष्टि इस तरह दिखेगी:

हम "विनिमय" के बाद प्राप्त लोगों को जोड़ते हैं 10 दसियों से 3 उपलब्ध दर्जनों: 3+10=13 , और इस संख्या से हम घटाते हैं 7 . हमारे पास है 13−7=6 . यह नंबर 6 इसके स्थान पर क्षैतिज रेखा के नीचे लिखें:

आइए सैकड़ों स्थानीय मानों को घटाने की ओर आगे बढ़ें। यहां हमें संख्या 5 के ऊपर एक बिंदु दिखाई देता है, जिसका अर्थ है कि इस संख्या से हमने "विनिमय के लिए" एक इकाई ली है। यानी अब हमारे पास नहीं है 5 , ए 5−1=4 . नंबर से 4 कुछ और घटाने की आवश्यकता नहीं है (क्योंकि मूल संख्या ही घटाई जानी है)। 71 इसमें सैकड़े के स्थान पर अंक नहीं हैं)। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे हम संख्या लिखते हैं 4 :

तो फर्क है 534−71 के बराबर 463 .

कभी-कभी, कॉलम द्वारा घटाते समय, आपको उच्चतम अंकों से इकाइयों को कई बार "विनिमय" करना पड़ता है। इन शब्दों की पुष्टि करने के लिए, आइए हम निम्नलिखित उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

किसी प्राकृत संख्या से घटाएँ 1 632 संख्या 947 स्तंभ।

समाधान।

पहले चरण में हमें संख्या में से घटाना होगा 2 संख्या 7 . क्योंकि 2<7 , तो आपको तुरंत "विनिमय" करना होगा 1 दस प्रति 10 इकाइयाँ। इसके बाद रकम से 10+2 संख्या घटाओ 7 , हमें मिलता है (10+2)−7=12−7=5 :

अगले चरण में हमें दहाई के स्थानीय मान को घटाना होगा। हम इसे संख्या के ऊपर देखते हैं 3 एक बिंदु है, अर्थात्, हमारे पास नहीं है 3 , ए 3−1=2 . और इस नंबर से 2 हमें संख्या घटानी होगी 4 . क्योंकि 2<4 , तो फिर हमें "विनिमय" का सहारा लेना पड़ता है। लेकिन अब हम पहले से ही आदान-प्रदान कर रहे हैं 1 एक सौ प्रति 10 दर्जनों. इस मामले में हमारे पास (10+2)−4=12−4=8 है:

अब हम सैकड़ों स्थानीय मान घटाते हैं। बीच से 6 पिछले चरण में इकाई पर कब्जा कर लिया गया था, इसलिए हमारे पास है 6−1=5 . इस संख्या से हमें संख्या घटानी होगी 9 . क्योंकि 5<9 , तो हमें "विनिमय" करने की आवश्यकता है 1 हजार प्रति 10 सैकड़ों. हमें (10+5)−9=15−9=6 मिलता है:

एक आखिरी कदम बाकी है. पिछले चरण में हमने इकाई से हजारों का स्थान लिया था, इसलिए हमारे पास है 1−1=0 . हमें परिणामी संख्या से कुछ और घटाने की आवश्यकता नहीं है। हम इस संख्या को क्षैतिज रेखा के नीचे लिखते हैं: