Результатом какой операции над отношением R является отношение T? Система управления базами данных - это. Операции над отношениями
relatio - «отношение», «зависимость», «связь»).Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Отношение R состоит из заголовка (схемы ) и тела . Заголовок представляет собой множество атрибутов (именованных вхождений домена в заголовок отношения), а тело - множество кортежей , соответствующих заголовку . Более строго:
- Заголовок (или схема) H отношения R - конечное множество упорядоченных пар вида (A i , T i ), где A i - имя атрибута , а T i - имя типа (домена), i =1,…, n . По определению требуется, чтобы все имена атрибутов в заголовке отношения были различными (уникальными).
- Тело B отношения R - множество кортежей t . Кортеж t , соответствующий заголовку H , - множество упорядоченных триплетов (троек) вида <A i , T i , v i >, по одному такому триплету для каждого атрибута в H , где v i - допустимое значение типа (домена) T i . Так как имена атрибутов уникальны, то указание домена в кортеже обычно излишне. Поэтому кортеж t , соответствующий заголовку H , нередко определяют как множество пар (A i , v i ).
Количество кортежей называют кардинальным числом отношения (кардинальностью ), или мощностью отношения.
Количество атрибутов называют степенью , или «арностью » отношения; отношение с одним атрибутом называется унарным, с двумя - бинарным и т.д., с n атрибутами - n -арным. С точки зрения теории вполне корректным является и отношение с нулевым количеством атрибутов, которое либо не содержит кортежей, либо содержит единственный кортеж без компонент (пустой кортеж) .
Основные свойства отношения:
- В отношении нет двух одинаковых элементов (кортежей).
- Порядок кортежей в отношении не определён.
- Порядок атрибутов в заголовке отношения не определён.
Подмножество атрибутов отношения, удовлетворяющее требованиям уникальности и минимальности (несократимости), называется потенциальным ключом . Поскольку все кортежи в отношении по определению уникальны, в любом отношении должен существовать по крайней мере один потенциальный ключ.
Отношения и таблицы
Отношение обычно имеет простую графическую интерпретацию в виде таблицы, столбцы которой соответствуют атрибутам, а строки - кортежам, а в «ячейках» находятся значения атрибутов в кортежах. Тем не менее, в строгой реляционной модели отношение не является таблицей , кортеж - это не строка , а атрибут - это не столбец . Термины «таблица», «строка», «столбец» могут использоваться только в неформальном контексте, при условии полного понимания, что эти более «дружественные» термины являются всего лишь приближением и не дают точного представления о сути обозначаемых понятий .
В соответствии с определением К. Дж. Дейта , таблица является прямым и верным представлением некоторого отношения, если она удовлетворяет следующим пяти условиям:
Пример
Пусть заданы следующие типы (домены):
Тогда декартово произведение T 1 × T 2 × T 3 {\displaystyle T_{1}\times T_{2}\times T_{3}} состоит из 18 кортежей, где каждый кортеж содержит три значения: первое - одна из фамилий, второе - учебная дисциплина, а третье - оценка.
Пусть отношение R имеет заголовок H : { (Фамилия, T 1), (Дисциплина, T 2), (Оценка, T 3)}.
Тогда тело отношения R может моделировать реальную ситуацию и содержать пять кортежей, которые соответствуют результатам сессии (Петров экзамен по Физике не сдавал). Отобразим отношение в виде таблицы:
Операции над отношениями
Любая операция, результатом которой является отношение , подпадает под понятие реляционной операции и может использоваться в реляционной теории и практике. Ниже приведён список из восьми операций, изначально предложенных создателем реляционной модели Эдгаром Коддом . Все операции из списка, кроме деления, по-прежнему широко востребованы, однако список не является исчерпывающим, то есть по факту используется гораздо большее число реляционных операций.
- Объединение - тело отношения-результата является объединением тел отношений-операндов; схема не изменяется.
- Пересечение - тело отношения-результата является пересечением тел отношений-операндов; схема не изменяется.
- Вычитание - тело отношения-результата получено вычитанием тел отношений-операндов; схема не изменяется.
- Проекция - схема отношения-результата является подмножеством схемы отношения-операнда; тело отношения-результата является нестрогим подмножеством тела отношения-операнда вследствие возможного удаления кортежей-дубликатов.
- Декартово произведение - тело отношения-результата является декартовым произведением тел отношений-операндов; схема результата является конкатенацией схем операндов.
- Выборка - тело отношения-результата является подмножеством тела отношения-операнда: отбираются лишь те кортежи, которые удовлетворяют заданному предикату (условию выборки); схема не изменяется.
- Соединение - выборка над декартовым произведением.
- Деление - делитель является унарным отношением, частное - совпадающие части кортежей делимого, перед которыми стоит делитель.
Примечания
Литература
- Когаловский М.Р. Энциклопедия технологий баз данных. - М. : Финансы и статистика, 2002. - 800 с. - ISBN 5-279-02276-4 .
- Кузнецов С. Д. Основы баз данных. - 2-е изд. - М. : Интернет-университет информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 484 с. -
Способы задания бинарного отношения
Определение бинарного отношения
Бинарные отношения
Пусть среди трех людей: Андрей (А), Василий (В) и Сергей (С) двое знакомы друг с другом (Андрей и Василий) и знают третьего – Сергея, но Сергей их не знает. Как описать отношения между этими людьми?
Имеем исходное множество Х = {А, В, С}. Далее из элементов множества Х составим упорядоченные пары:
(А, В), (В, А), (А, С), (В, С). Это множество пар и описывает связи между элементами множества X. Кроме того, множество этих пар есть подмножество декартова произведения X ´ X.Определение. На множестве X задано бинарное отношение R, если задано подмножество декартова произведения X ´ X (т. е. R Ì X ´ X).
Пример 1 . Пусть X = {1, 2, 3, 4}. Зададим на X следующие отношения:
Т = {(х, у) | х, у Î Х; х = у} – отношение равенства;
Р = {(х, у) | х, у Î Х; х = у - 1} – отношение
предшествования;
Q = {(х, у) | х, у Î Х; х делится на у} – отношение
делимости.
Все эти отношения заданы с помощью характеристического свойства. Перечислим элементы этих отношений для заданного множества X = {1,2,3,4}:
Т = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)};
P = {(1,2), (2,3), (3,4) };
Q = {(4,4), (4,2), (4,1), (3,3), (3,1), (2,2), (2,1), (1,1)}.
Тот факт, что пара (х, у) принадлежит данному отношению R, будем записывать: (х, у) Î R или xRy. Например, для отношения Q запись 4Q2 означает, что 4 делится на 2 нацело, т. е. (4,2) Î Q.
Областью определения D r бинарного отношения R называется множество D R = {x | (х, у) Î R}.
Областью значений Е R бинарного отношения R называется множество Е R = {у| (х, у) Î R}.
В примере для отношения Р областью определения является множество D R = {1,2,3}, а областью значений является множество Е R = {2,3,4}.
Бинарное отношение можно задать, указав характеристическое свойство или перечислив все его элементы. Существуют и более наглядные способы задания бинарного отношения: график отношения, схема отношения, граф отношения, матрица отношения.
График отношения изображается в декартовой системе координат: на горизонтальной оси отмечается область определения, на вертикальной - область значений отношения. Элементу отношения (х, у) соответствует точка плоскости с этими координатами.
Рис. 1.8. График отношения Q (а) и схема отношения Q (б)
Схема отношения изображается с помощью двух вертикальных прямых, левая из которых соответствует области определения отношения, а правая – множеству значений отношения. Если элемент (х, у) принадлежит отношению R, то соответствующие точки из D R и Е R соединяются прямой.
Граф отношения R Ì X ´ X строится следующим образом. На плоскости в произвольном порядке изображаются точки - элементы множества X. Пара точек х и у соединяется дугой (линией со стрелкой) тогда и только тогда, когда пара (х, у) принадлежит отношению R.
Матрица отношения R Ì X ´ X – это квадратная таблица, каждая строка и столбец которой соответствует некоторому элементу множества X. На пересечении строки х и столбца у ставится 1, если пара (х, у) Î R; все остальные элементы матрицы заполняются нулями. Элементы матрицы нумеруются двумя индексами, первый равен номеру строки, второй – номеру столбца.
Пусть X = {х 1 , х 2 , …, х n } . Тогда матрица отношения
Тесты по основным понятиям реляционной модели баз данных
Что представляет собой домен отношения?
Множество, представляющее собой все текущие значения одного из атрибутов отношения.
Что представляет собой отношение?
Множество, элементами которого являются упорядоченные последовательности. Каждая последовательность состоит из N значений, которые принадлежат соответствующим N доменам.
Изменяется ли смысл отношения от перестановки его атрибутов и кортежей?
Не изменяется.
Почему в отношении не может быть двух одинаковых кортежей?
Отношение - это множество, элементами которого являются кортежи. А элементы множества должны быть различимы, т. е. отличаться друг от друга.
Какие термины используются на практике вместо термина «отношение»?
1. Столбец.
2. Таблица.
3. Строка.
5. Запись.
Какие термины используются на практике вместо термина «кортеж»?
Какие термины используются на практике вместо термина «атрибут»?
Что такое степень отношения?
Количество атрибутов(столбец, поле) отношения.
Что такое мощность отношения?
Текущее количество строк отношения.
Текущее количество записей в таблице, у которой нет записей-дубликатов.
Отношение находится в первой нормальной форме, если
1. количество столбцов отношения равно количеству строк отношения.
2. элементами доменов отношения являются простые неделимые значения.
3. кортежами отношения являются простые неделимые (атомарные) значения.
4. значения атрибутов принадлежат доменам, содержащим только атомарные значения.
5. первичный ключ отношения является простым и атомарным.
6. все поля всех кортежей отношения являются атомарными.
7. Правильные ответы 1, 6.
8. Правильные ответы 2, 4, 6.
9. Правильные ответы 3, 5.
Система управления базами данных - это
программный продукт (программное обеспечение), с помощью которого пользователи могут определять, создавать и поддерживать базу данных в актуальном состоянии, а также осуществлять к ней контролируемый доступ.
12 Первичным ключом отношения (таблицы) может быть:
атрибут, значения которого в кортежах отношения не повторяются.
одно поле или минимальный набор полейтаблицы, который используется дляоднозначной идентификации конкретной строки таблицы.
Простой первичный ключ отношения - это
первичный ключ, состоящий из одного атрибута.
Составной первичный ключ отношения - это
первичный ключ, состоящий из двух или более атрибутов.
15 Чтобы отношение удовлетворяло условию целостности сущности необходимо, чтобы:
не было отсутствующих значений у атрибутов, входящих в первичный ключ отношения.
не было атрибутов, обозначенных определителем Null.
16 Внешний ключ отношения - это:
атрибут или набор атрибутов, который является первичным ключом в другом отношении.
17 Главное отношение (главная таблица) - это
таблица, у которой поля первичного ключа соответствуют полям внешнего ключа другой (подчиненной) таблицы.
отношение, у которого множество атрибутов внешнего ключа является подмножеством атрибутов первичного ключа.
Ссылочная целостность означает, что
значение внешнего ключа должно выбираться таким, чтобы в главной таблице имелась строка с таким же значением первичного ключа.
Означает, что если в отношении имеется внешний ключ, то его значение должно соответствовать значению первичного ключа в каком-либо кортеже главного отношения.
Требует, чтобы в отношении не было таких значений атрибутов, входящих во внешний ключ, которых нет в первичном ключе главного отношения
Главная функция СУБД - это
давать средства, обеспечивающие возможность получения ответов на поступающие от пользователей запросы
выдавать ответы на поступающие запросы
Селективная мощность реляционного языка - это
относительная (сравнительная) характеристика языка, определяющая ее
возможности по получению требуемой информации из базы данных.
21 Реляционная алгебра Кодда содержит:
восемь операций: четыре теоретико-множественные операции (объединения, пересечения, разности и декартова произведения) и четыре специальные реляционные операции (выборки, проекции, соединения и деления).
22 Язык является реляционно-полным, если:
1. позволяет для любого конечного набора отношений R1, R2,…, Rn в первой нормальной форме определить любое отношение, выводимое из R1, R2,…, Rn с помощью выражений реляционной алгебры Кодда.
2. его выразительная мощность не уступает реляционной алгебре Кодда.
23 Наиболее часто используются при выполнении запросов к реляционной базе данных операции:
1. выборки, проекции, соединения и декартова произведения.
R S T пфам город пфам дкод шт R.пфам Город S.пфам дкод шт Грис Лондон Джонс д1 Смит Лондон Джонс д1 Джонс Париж Джонс д2 Джонс Париж Джонс д1 Смит Лондон Смит д1 Грис Лондон Джонс д1 Смит д2 Смит Лондон Джонс д2 Смит д3 Джонс Париж Джонс д2 Грис Лондон Джонс д2 Смит Лондон Смит д1 Джонс Париж Смит д1 Грис Лондон Смит д1 Смит Лондон Смит д2 Джонс Париж Смит д2 Грис Лондон Смит д2 Смит Лондон Смит д3 Джонс Париж Смит д3 Грис Лондон Смит д3 Результатом какой операции над отношениями R и S является отношение T?
R S T дкод дназв цвет Вес пфам дкод шт R.дкод дназв цвет вес пфам S.дкод шт д1 болт черный Джонс д1 д1 болт черный Джонс д1 д2 гайка черный Джонс д2 д1 болт черный Смит д1 д3 гайка красный Смит д1 д2 гайка черный Джонс д2 д4 винт зеленый Смит д2 д2 гайка черный Смит д2 Смит д3 д3 гайка красный Смит д3 1. экви соединение дкод.
Результатом какой операции над отношениями R и S является отношение T?
R S T дкод дназв цвет вес пфам дкод шт дкод дназв цвет вес пфам шт д1 болт черный Джонс д1 д1 болт черный Джонс д2 гайка черный Джонс д2 д1 болт черный Смит д3 гайка красный Смит д1 д2 гайка черный Джонс д4 винт зеленый Смит д2 д2 гайка черный Смит Смит д3 д3 гайка красный Смит Результатом какой операции над отношениями R и S является отношение T?
R S T дкод дназв цвет вес пфам дкод шт R.дкод дназв цвет вес пфам S.дкод шт д1 болт черный Джонс д1 д1 болт черный Джонс д1 д2 гайка черный Джонс д2 д1 болт черный Смит д1 д3 гайка красный Смит д1 д2 гайка черный Джонс д2 д4 винт зеленый Смит д2 д2 гайка черный Смит д2 Смит д3 д3 гайка красный Смит д3 д4 винт зеленый Null Null Null 1. Естественное соединение по полю дкод.
3. Экви-соединение соединение по полю дкод.
4. Проекция по всем атрибутам отношений R и S.
5. Правое внешнее соединение таблиц R и S по полю дкод.
6. Левое внешнее соединение таблиц R и S по полю дкод.
Результатом какой операции над отношением R является отношение T?
R T дкод дназв цвет вес пфам шт цвет пфам д1 болт черный Джонс черный Джонс д1 болт черный Смит черный Смит д2 гайка черный Джонс красный Смит д2 гайка черный Смит д3 гайка красный Смит 1. Выборка кортежей, у которых атрибут цвет принимает значение черный или красный.
2. Естественное соединение полей цвет и пфам.
3. Экви-соединение соединение полей цвет и пфам.
4. Проекция по полям цвет и пфам.
6. Выборка первых трех записей.
Лекция 20. Отношения на множестве
1. Отношения на множестве. Бинарные отношения.
2. Свойства отношений
§10. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ
В математике изучают не только связи между элементами двух множеств, т.е. соответствия, но и связи между элементами одного множества. Называют их отношениями.
Отношения многообразны. Между понятиями - это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями - отношения следования и равносильности; между числами - «больше», «меньше», «равно», «больше на...», «меньше на...», «следует» и др.
Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными; отношения между тремя элементами - тернарными; отношения между п элементами - n -арными. Все названные выше отношения являются бинарными. Примером тернарного отношения может служить отношение между точками прямой - «точка х лежит между точками у и 2».
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю надо знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.
Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на множестве, поступим так же, как и в случае с соответствиями, т.е. рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве X = {2, 4, 6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества X можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения Х х Х , поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве X , можно сказать, что оно является подмножеством множества Х х X .
Вообще бинарные отношения на множестве X определяют следующим способом:
Определение. Бинарным отношением на множестве X называется всякое подмножество декартова произведения Х х Х.
Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать.
Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.
Если R - отношения на множестве X , то, согласно определению, R с X х X . С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества X х X , то оно определяет на множестве X некоторое отношение R .
Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R , можно записывать так: (х, у ) € R или хRу . Последняя запись читается: «Элемент х находится в отношении R с элементом у ».
Отношения задают так же, как соответствия. Отношение можно задать, перечислив пары элементов множества X , находящиеся в этом отношении. Формы представления таких пар могут быть различными - они аналогичны формам задания соответствий. Отличия касаются задания отношений при помощи графа.
Построим, например, граф отношений «меньше», заданного на множестве X
= {2, 4, 6, 8}. Для этого элементы множества X
изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» - стрелкой (рис. 93).На том же множестве X можно рассмотреть другое отношение - «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе (рис. 94). Отношение можно задать при помощи предложения с двумя переменными. Так, например, заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений «число x меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записывать, используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было задать в таком виде: «x < у», «х: у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или x - у = 3).
Для отношения R , заданного на множестве X, всегда можно задать отношение R -1 , ему обратное, - оно определяется так же, как соответствие, обратное данному. Например, если R - отношение «х меньше y », то обратным ему будет отношение «у больше x ».
Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» - ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?» Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».