Практикум по когнитивной терапии
Г. Гутфройнд, У. Литтл
Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305.
В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.
Так называемая малая 1 теорема Ферма — одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,
Ap-1 ≡ 1 (mod p),
Т.е. ap-1 - 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов . Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа.
Во-первых, докажем, что если p — любое простое число, то 2p - 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p — простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону)
α ≠ T nα при n Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n
То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп. Во-вторых, заметим, что число 2p - 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p - 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p-1 - 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов. Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (-j, -j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap - a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = -j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n < ap имеем α ≠ (TI)nα. В противном случае мы получили бы α = (TI)aα для любого α. Следовательно, если a не кратно p, то каждая конфигурация принадлежит какому-то классу из ap различных элементов, так что (ap - a)/ap и (ap-1 - 1)/p являются целыми числами. Тем самым малая теорема Ферма полностью доказана. Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных. Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m — произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что
(am-1 -1) - (ap1-1 -1) - (ap2-1 -1)
Делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am-1 -1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi — простые, а ai — целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение: H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist"s proof of Fermat"s theorem of primes". — Amer. J. Phys., March 1982, p. 219-220. Перевод с английского Ю.А. Данилова. 1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. — М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. — М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. — Прим. перев. Список литературы 1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. — New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980. — Прим. перев.] 2. Golomb S.W.— Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/ Г. Гутфройнд, У. Литтл
Так называемая малая 1 теорема Ферма - одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p, ap–1 ≡ 1 (mod p), т.е. ap–1 – 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов . Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа. Во-первых, докажем, что если p - любое простое число, то 2p – 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p - простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону) α ≠ T nα при n Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп. Во-вторых, заметим, что число 2p – 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p – 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p–1 – 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов. Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (–j, –j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap – a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = –j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных. Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m - произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что (am–1 –1) – (ap1–1 –1) – (ap2–1 –1) делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am–1 –1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi - простые, а ai - целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение: (am–1 –1) – Примечания H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist"s proof of Fermat"s theorem of primes". - Amer. J. Phys., March 1982, p. 219–220. Перевод с английского Ю.А. Данилова. 1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. - М.–Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. - М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М.: Мир, 1980. - Прим. перев. Список литературы 1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. - New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. - М.: Наука, 1980. - Прим. перев.] 2. Golomb S.W.- Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718. Г. Гутфройнд, У. Литтл
Так называемая малая 1 теорема Ферма - одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p, ap–1 ≡ 1 (mod p), Т.е. ap–1 – 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов . Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа. Во-первых, докажем, что если p - любое простое число, то 2p – 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p - простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону) α ≠ T nα при n Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n
То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп. Во-вторых, заметим, что число 2p – 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p – 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p–1 – 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов. Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (–j, –j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap – a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = –j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n < ap имеем α ≠ (TI)nα. В противном случае мы получили бы α = (TI)aα для любого α. Следовательно, если a не кратно p, то каждая конфигурация принадлежит какому-то классу из ap различных элементов, так что (ap – a)/ap и (ap–1 – 1)/p являются целыми числами. Тем самым малая теорема Ферма полностью доказана. Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных. Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m - произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что (am–1 –1) – (ap1–1 –1) – (ap2–1 –1) Делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am–1 –1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi - простые, а ai - целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение: (am–1 –1) – (am/pi –1 –1) + (am/pi pj –1 –1) – ... + (–1)k(am/p1 p2 ... pn –1 –1). Примечания H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist"s proof of Fermat"s theorem of primes". - Amer. J. Phys., March 1982, p. 219–220. Перевод с английского Ю.А. Данилова. 1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. - М.–Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. - М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М.: Мир, 1980. - Прим. перев. Список литературы 1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. - New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. - М.: Наука, 1980. - Прим. перев.] 2. Golomb S.W.- Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718. Метод 4.
Сны и гипноз
Метод 3.
Сны тоже показывают силу мыслей клиентов. Когда клиент видит сны, внешней средой является спальня. Эта реальность остается неизменной, что бы человеку ни снилось. В случае если это кошмар, то страх определенно берется не из окружающей обстановки (спальни), он идет из сновидения. Меняются сны - меняются и вызываемые ими эмоции. Сновидения - это тоже В, такие нее, как мысли; но это мысли, порождаемые человеком, когда его ощущения сведены к минимуму и сосредоточены больше на интероцептивных, чем на экстероцептивных стимулах. Успешность гипнотического внушения показывает, что существует несколько ситуаций типа «А вызывает С». Кора головного мозга равномерно вовлечена в процессы, которые представляются мгновенными и автоматическими, в такие, к примеру, как боль. Боль, субъективно испытываемая при проколе пальца иглой, - явный пример ситуации АС. А - игла - напрямую вызывает С - боль. Но гипноз обнаруживает, что даже это является состоянием ABC. В случае если вы внушаете гипнотизируемому субъекту: «Ваша рука находится в ледяной воде и сильно закоченела, так что вы ничего не чувствуете», - он не ощутит, что его руку укололи. Будучи под гипнотической анестезией, люди тем не менее чувствуют некоторую стимуляцию, но не воспринимают ее как боль. Многие описывают ее как чувство, которое нельзя назвать ни негативным, ни позитивным. Конечно, возможность блокировать боль основана у субъекта на его способности воспринимать действительность под внушением гипнотизера. Гипноз и сновидения показывают, что для эмоционального состояния клиента их воображение гораздо важнее реальности. В случае если им снится, что они находятся на корабле, тонущем после столкновения с айсбергом на севере Атлантического океана, они испытают весь ужас, который чувствовали пассажиры «Титаника», и то, что они в реальности спокойно лежат в своей кровати, не изменит этих эмоций. И если они представят, что им пять лет и они качаются на качелях, они ощутят всю радость от полета в воздухе, не важно, что они взрослые и лежат на кушетке гипнотизера. Стоит сказать, что для нас реальным является то, что наш мозг признает таковым. Для клиентов с более узким стилем мышления и бедным воображением будет полезен фактический подход. Для таких клиентов мы представляем физиологические аспекты теории ABC. Мы начинаем с показа изображения мозга со следующими обозначениями (рис. 1.1). Обоняние Слух Зрение Эмоции
Рис. 1.1.
Когнитивные и эмоциональные зоны мозга (Casey & McMullin, 1976, 1985) Более образованным клиентам мы советуем прочитать работу Антонио Дамасио «Ошибка Декарта» (Damasio, 1994). В этой книге он описывает неврологические механизмы эмоций. Процесс начинается с произвольного, осознанного рассмотрения нами А. Сначала мы отражаем, оцениваем содержание ситуации, частью которой являемся. Определяем ее последствия для себя и других людей. Эти когнитивные оценки представлены у нас в сенсорной коре (обоняние, слух и зрение). Наш мозг затем берет эти репрезентации и сопоставляет с другими ситуациями подобного типа, которые были в нашем опыте. В пре-фронтальной зоне коры мозга автоматически начинается поиск в памяти парных компонентов и ассоциаций. «Оказывались ли мы раньше в похожих ситуациях? Есть ли причины для беспокойства? Что произошло, когда мы последний раз были в такой ситуации?» Весь последующий процесс носит когнитивный характер. Все это В. Несмотря на то что мыслительные процессы молниеносны (часто длятся менее секунды) и непроизвольны, все они про-исходят в коре и лобных зонах мозга. Только тогда, когда они завершаются, активизируется биохимия сложных эмоций. Эти умозаключения (в префронтальных зонах мозга) автоматически посылают сигналы в эмоциональные зоны (среди которых миндалевидное тело, передняя извилина, вегетативная нервная система и ствол мозга). Только тогда мы «ощущаем» ту или иную эмоцию. Люди с физическими повреждениями лобных долей не могут испытывать ни эмоций, ни вытекающих из них чувств. Физиологически В является главным компонентом наших эмоций. Физическое доказательство малой теоремы Ферма Г. Гутфройнд, У. Литтл Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305. В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии. Так называемая малая 1 теорема Ферма — одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p, ap-1 ≡ 1 (mod p), т.е. ap-1 - 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов . Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа. Во-первых, докажем, что если p — любое простое число, то 2p - 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p — простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону) α ≠ T nα при n Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп. Во-вторых, заметим, что число 2p - 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p - 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p-1 - 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов. Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (-j, -j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap - a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = -j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n
Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных. Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m — произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что (am-1 -1) - (ap1-1 -1) - (ap2-1 -1) делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am-1 -1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi — простые, а ai — целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение: (am-1 -1) - ∑(am/pi -1 -1) + ∑(am/pi pj -1 -1) - ... + (-1)k(am/p1 p2 ... pn -1 -1). Примечания H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist"s proof of Fermat"s theorem of primes". — Amer. J. Phys., March 1982, p. 219-220. Перевод с английского Ю.А. Данилова. 1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. — М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. — М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. — Прим. перев. Список литературы 1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. — New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980. — Прим. перев.] 2. Golomb S.W.— Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718.
Примечания
(am-1 -1) -
∑
(am/pi -1 -1) +
∑
(am/pi pj -1 -1) - ... + (-1)k(am/p1 p2 ... pn -1 -1).
i
i,j
Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305.
В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.
Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305.
В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.
