Электростатическое взаимодействие точечных зарядов

Названное взаимодействие, несмотря на кажущуюся простоту, не удаётся интерпретировать чётко и однозначно. Его можно описать двумя способами: при помощи закона Кулона или, используя полное электростатическое поле зарядов. В первом случае заряды могут взаимодействовать между собой непосредственно, так как интенсивность события зависит только от величины, знака зарядов и расстояния между ними; во втором, дополнительно участвуют посредник – пробный заряд, и всё окружающее пространство.

Два способа явно отличаются друг от друга, но конечный результат получается одинаковым. В чём причина этого явления? В учебной литературе соответствующие разъяснения обычно сводятся к утверждению, что заряд и созданное им поле неразрывно связаны между собой. Поэтому выбор того или иного способа означает только выбор языка, на котором ведутся рассуждения и расчёты, на языке зарядов или на языке поля. Такое утверждение не является очевидным, и в данной статье оно сравнительно подробно обсуждается.

Другой нерешённый вопрос, возможно вытекающий из предыдущего, где локализуется потенциальная энергия взаимодействия, в самих зарядах или в окружающем их пространстве. Общепринятая точка зрения: в электростатической системе определить локализацию энергии невозможно. Эта точка зрения в данной статье также подвергается обсуждению.

Третий вопрос, затронутый в статье, роль физического вакуума в электростатическом взаимодействии. Обычно понятие вакуума используется в атомной и ядерной физике при анализе микроявлений, однако основанное на процессах в физическом вакууме взаимодействие зарядов имеет место и в макромире.

Ряд физических понятий и формул, которые представляются автору общеизвестными, например, закон Кулона, напряжённость и потенциал поля точечного заряда, объёмная плотность энергии поля, принцип суперпозиции полей, теорема Остроградского – Гаусса и др., используются в статье без объяснений. Однако, в случае необходимости, можно обратиться к источникам , или другим учебникам по физике.

Расположение зарядов и обозначения величин показаны на рис. 1.

Рис. 1. Расположение электрических зарядов Q 1 и Q 2 и создаваемое ими статическое поле напряжённостью E = E 1 + E 2 в точке наблюдения P (X , Y )

Расстояния R 0 , R 1 и R 2 соответствуют промежуткам между зарядами и от зарядов до точки наблюдения; Q 1 , Q 2 > 0 принято как на рисунке, так и последующих рассуждениях и выкладках, если не оговорено иное. Векторные величины выделены жирным шрифтом. Вследствие вращательной симметрии поля относительно оси X характеристики взаимодействия завися только от двух координат X и Y .

Энергия взаимодействия U зарядов по закону Кулона определяется работой по перемещению заряда Q 2 в поле заряда Q 1 (или, наоборот) из бесконечной удалённости до расстояния R 0 между ними. В вакууме

где ε 0 = 0,885·10 –11 Ф/м – электрическая постоянная.

Как видно из формулы (1), величины зарядов Q 1 и Q 2 (а также жёстко связанные с ними собственные энергии) в процессах выполнения этой работы внешними силами (и взаимодействия зарядов друг с другом) остаются постоянными. Значение изменяющейся энергии U зависит исключительно от расстояния R 0 между зарядами. Ни заряды, ни их известные свойства не зависят от R 0 . Поэтому привнесённая извне энергия не может размещаться в зарядах. Её место в пространстве, окружающем заряды. Ситуация напоминает поведение материальных точек, соединённых механической пружиной, деформация которой усилиями извне и создаёт потенциальную энергию «взаимодействия» точек. В случае зарядов роль «пружины» играет силовое поле, природа которого чаще всего интерпретируется, как совокупность элементарных возбуждений физического вакуума .

В варианте взаимодействия по формуле (1) допустимо предположение, что возникшая связь между зарядами есть единственное поле. Так как подобное поле целиком формируется за счёт внешней энергии, то каждый отдельный заряд может взаимодействовать с бесчисленным множеством других зарядов без каких-либо ограничений. С другой стороны, необходимое поле взаимодействия в формуле (1) в явном виде не прописано. Вопрос о том, какой механизм приводит к взаимодействию, и где локализуется энергия взаимодействия, остаётся открытым.

При рассмотрении полного электростатического поля зарядов (второй способ описания взаимодействия, вытекающий из уравнений Максвелла) характерными величинами для поля являются напряженность Е и потенциал φ, объёмные плотности заряда ρ и энергии W (X , Y ).

Ниже представлены формулами (2) и (3): расстояния R 1 и R 2 от зарядов Q 1 и Q 2 до точки наблюдения P (X , Y ); напряжённости E 1 и E 2 , потенциалы φ 1 , φ 2 поля, создаваемые каждым из зарядов в точке наблюдения; объёмная плотность энергии поля W (X , Y ), а также полные значения напряжённости E и потенциала φ в той же точке P (X , Y ). Здесь же дано выражение для cosα, косинуса угла между векторами E 1 и E 2 . Некоторые величины показаны на рис. 1.

Вывод формулы для W (X , Y ) в самом общем случае, включающем неоднородное поле, можно посмотреть, например, в работах . В основе этих доказательств лежит применение к векторному полю φ·gradφ формулы Остроградского – Гаусса, связывающей объёмный и поверхностный интегралы по всему указанному полю,

На больших расстояниях от зарядов потенциал поля обращается в нуль и, если здесь провести граничную (замкнутую) поверхность, то обратится в нуль также и интеграл по этой поверхности. Таким образом, остаётся объёмный интеграл от дивергенции векторного поля. Приравняв его нулю, и, учитывая, что

где ρ – объёмная плотность зарядов, получаем вместо (4),

Слева имеем объёмный интеграл от выражения (3), а справа – полную энергию электростатического поля системы зарядов. Поэтому интеграл в левой части (6) можно также рассматривать, как полную энергию системы. Каждое из подынтегральных выражений (6) представляет собой объёмную плотность энергии поля, что и доказывает справедливость формулы (3). Так как названные плотности выражают одно и то же, то, в принципе, они должны быть одинаковы. Однако, из-за разделения понятий «заряд» и «поле» этого не происходит. Выбирая левую часть, мы подсчитываем энергию, распределённую в электростатическом поле, пользуясь понятием напряжённости поля, выбирая правую часть, – определяем работу, необходимую для воссоздания тех же полей вокруг зарядов. В том и другом случае речь идёт об энергии поля, и о размещении этой энергии именно в самом поле.

При использовании в равенстве (4) вместо векторного поля φ·gradφ, поле E = –gradφ, взаимодействие зарядов выпадает из рассмотрения,

С учётом (5) приходим к теореме Гаусса в интегральной форме,

Правая часть (8) (без (1/ε 0)) даёт суммарный заряд в выделенном объёме, а левая часть (8) – суммарный поток напряжённости поля (5) через замкнутую поверхность, окружающую этот объём. При изменениях размеров, формы поверхности и конфигурации зарядов внутри выделенного объёма, поток, как и суммарный заряд, остаются неизменными. В формуле (8) присутствуют только собственные поля зарядов, только они жестко связаны с зарядами и не зависят от взаимодействия зарядов.

Возвратимся к формуле (6), и вычислим энергию поля системы с помощью интеграла в правой части (6). Для точечных зарядов плотность ρ не равна нулю лишь в тех местах ((0, 0) ≡ 1 и (R 0 , 0) ≡ 2), где находятся заряды. Обозначим φ 1 (1) и φ 2 (2); φ 2 (1) и φ 1 (2) – потенциалы: собственный от Q 1 в месте расположения Q 1 и аналогично для Q 2 ; создаваемый зарядом Q 2 в месте расположения Q 1 и создаваемый зарядом Q 1 в месте расположения Q 2 , соответственно. Все они являются постоянными величинами, и могут быть вынесены за знак интеграла. Записывая ρ с помощью дельта-функций (запись символическая),

Легко показать (используя (2) и правую часть (10), и положив R 1 = R 2 = R 0), что сумма третьего и четвёртого членов в (10) принимает форму закона Кулона, и в точности равна U .

Члены W 1 и W 2 описывают неизменные при любых обстоятельствах плотности энергии собственных полей зарядов. Объёмные интегралы от них можно сравнить с членами φ 1 (1)Q 1 /2 и φ 2 (2)Q 2 /2 в формуле (10),

и исключить из обоих выражений, (3) и (10). Эта операция позволяет также частично избавиться от проблем, связанных с характеристиками поля на небольших расстояниях от точечных зарядов, и с трудностями учёта собственных полей зарядов в теории . Таким образом, взаимодействие зарядов определяется только членом W 3 , зависящим от силовых характеристик обоих зарядов одновремённо. Аналогом объёмного интеграла от W 3 «на языке зарядов» является выражение (11). Сравнивая интеграл от W 3 с интегралом (11),

можно ожидать, что вычисление интеграла в левой части (15), также приведёт к энергии U , но распределение объёмной плотности энергии в пространстве (формула (13)), вполне очевидно, не будет совпадать с представленным в правой части (15).

Рассмотрим подробнее распределение энергии W 3 в пространстве. Косинус угла α, показанный на рис. 1, играет определённую роль: cosα 900 (имеет место внутри окружности, вписанной между зарядами с центром в середине отрезка R 0), и cosα > 0 во всём остальном пространстве. Поэтому окружность cosα = 0 (в трёхмерном пространстве – сферическая поверхность) является важной границей, она отделяет конструктивную интерференцию от деструктивной. Пространство внутри этой сферы будем называть центральной зоной взаимодействия.

Задача упрощается без ущерба содержанию, если положить

Обозначим подынтегральную функцию в правой части (17) символом w 3 (она представляет собой относительное распределение объёмной плотности энергии в пространстве):

будет учтена в конце работы.

Подстановки (16) с образованием относительных распределений типа (18) применим также к W 1 и W 2 (формулы (12)); получим, соответственно, w 1 и w 2:

Найдём соотношение

которое представляет собой некоторую поверхность. Участок этой поверхности внутри и вблизи центральной зоны взаимодействия показан на рис. 2 в пределах изменения x от –1 до 1, и y от –2 до 2.

Рис. 2. Отношение w объёмной плотности энергии в системе двух одноимённых взаимодействующих зарядов к сумме энергий невзаимодействующих зарядов

Заряды расположены в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Если бы энергия w 3 отсутствовала, то рассматриваемое отношение имело вид плоскости w = 1 (см. формулу (21)).

Как видно из рис. 2 и формулы (21), значение w равно нулю в центре отрезка R 0 (x = 0,5; y = 0); w = 1 на окружности, вписанной между зарядами; w = 2, максимально достижимое значение при x , y → ∞. Взаимодействие зарядов существенно дополняет сумму их собственных энергий и положительными, и отрицательными вкладами; при отталкивании зарядов энергия поля как бы «уходит» из центральной зоны наружу. Однако,

то есть плотность энергии взаимодействия зарядов в каждой точке поля никогда не превышает суммы плотностей их собственных силовых полей. Новая деформированная структура поля обладает большей энергией, чем недеформированная. Поле «стремится» избавиться от избыточной энергии, и отсюда возникают силы взаимодействия. Механизм образования деформированной «надструктуры» w 3 целиком определяется принципом суперпозиции (векторным сложением напряжённостей полей).

Выясним, как соотносятся полные энергии взаимодействия внутри центральной зоны и за её пределами? Ответ на него может дать интегрирование по формуле (17) с учётом (16) и (18). Интеграл по y после подстановки

Смысл I (x ) – потенциальная энергия на единицу длины вдоль x , просуммированная по бесконечной плоскости (с координатой x ), перпендикулярной оси x . С другой стороны, это – осреднённая в названной плоскости относительная сила воздействия на заряд слоем поля, толщиной dx . График I (x ) показан на рис. 3.

Рис. 3 . Изображение I (x ) по формуле (26)

Интеграл (25) вычисляется в пределах от нуля до бесконечности. При этом надо различать три области по x :

1) область отрицательных значений (–∞ x 0, знак плюс перед c 1/2);

2) область между зарядами (0 ≤ x ≤ 1, знак минус перед с 1/2);

3) область оставшихся положительных значений (1 x ∞, знак плюс перед c 1/2).

Аналогично применяются знаки в правой части (26).

Вычисления по формуле (25) дают следующие результаты. В областях 1 или 3

Из формул (3), (17), (25) следует, что и в других случаях, каковы бы ни были величины и знаки зарядов, потенциальная энергия в области 2 равна нулю, причём компенсация положительных и отрицательных вкладов происходит в каждой плоскости x = const. Этот факт заслуживает особого внимания, так как в области 2 происходят существенные деформации поля. Таким образом, оказывается, что вся энергия взаимодействия сосредоточена в областях 1 и 3 поровну. Воздействие на заряды осуществляется не из пространства между зарядами, а из пространства снаружи.

Интегрирование выражения (25) по x в пределах от –∞ до +∞ приводит к результату

Независимое интегрирование (17) воспроизводит (ещё раз!) закон Кулона для U и подтверждает предположение (15). Интересная деталь: в выражении (17) значимые для взаимодействия зарядов величины (q и R 0) выводятся за знак интеграла, образуя необходимую энергию U , а сам интеграл, в конечном счете, оказывается равным единице при любых обстоятельствах. Формулы (25)...(30) демонстрируют вероятностный характер распределения энергии внутри поля, и объясняют причину совпадения расчётов энергии взаимодействия двумя разными способами, упомянутыми во введении. Так и должно быть, потому что напряжённости E обладают свойствами квантовомеханических амплитуд .

При рассмотрении взаимодействия разноимённых зарядов значение W 3 (см. формулу (13)) становится положительным внутри центральной зоны, и отрицательным за её пределами. Знак минус приобретает потенциальная энергия U .

Функция W 3 применяется также в вариационной процедуре (принципе наименьшего действия) для электрической составляющей электромагнитного поля (см. ). В этом случае W 3 с самого начала рассматривается, как распределение вероятностей взаимодействия по точкам пересечения напряжённостей E 1 и E 2 в пространстве. Результат такой процедуры для статического поля тот же, как по форме (вычисление функции Лагранжа по формулам (25)...(30)), так и по содержанию (закон Кулона).

Р. Фейнман в своей Нобелевской лекции отмечает: «...электродинамику можно построить... различными способами, – на основе дифференциальных уравнений Максвелла, (или) на основе различных принципов наименьшего действия с полями, и без полей... Самые фундаментальные законы физики после того, как они уже открыты, все-таки допускают такое невероятное многообразие формулировок, по первому впечатлению не эквивалентных, и всё же таких, что после определенных математических манипуляций между ними всегда удаётся найти взаимосвязь. Чем это можно объяснить, – остаётся загадкой. Думается, что здесь каким-то образом отражается простота природы. Может быть, вещь проста только тогда, когда её можно исчерпывающим образом охарактеризовать несколькими различными способами, ещё не зная, что на самом деле ты говоришь об одном и том же».

Вернёмся к формуле (4а) и попытаемся на её основе выстроить гипотезу для понимания механизма размещения внутри поля энергии взаимодействия U . Будем считать, что плотность ρ описывает, как заряды, изначально создающие поле, так и заряды, образованные (наведенные) полем в физическом вакууме. Теперь подынтегральное выражение (4а) можно положить равным нулю в каждой точке поля,

при этом дислокация ρ не будет точечной, но закономерности Е и φ, определённые формулами (2) и подтверждённые экспериментально, не подлежат пересмотру. Совпадение «точечных» расчётов с опытом имеет место и для неточечных, но сферически симметричных источников. Кроме того, мы полагаем, что суммарный наведенный заряд, состоящий из равного количества положительных и отрицательных зарядов, равен нулю.

Из выражения (31) по известным значениям E и φ можно найти некоторые свойства одной из моделей физического вакуума – «поляризованного» вакуума . Согласно этой модели возбуждение вакуума заключается «в узком смысле слова, в рождении виртуальных пар заряженных частиц-античастиц (напр., пар электрон – позитрон) из вакуума... Этот эффект аналогичен поляризации диэлектрической среды внесённым в неё зарядом...». Из работы следует, что в данной среде можно ожидать появления связанных зарядов с объёмной плотностью ρ". При отсутствии сторонних зарядов в рассматриваемой части диэлектрика,

Здесь χ – диэлектрическая восприимчивость (неоднородной, но изотропной) среды.

Преобразуем второй член в формуле (31), используя (2) и (9),

Два первых равенства в (35) можно дополнить соотношениями

можно трактовать, как источник поля с энергетической плотностью W 3 , образованный внешними силами. Вследствие того, что силовое поле от ρ 12 " не выходит из замкнутой поверхности (8), суммарный по объёму заряд от этой плотности должен равняться нулю. Ниже на рис. 4а (S ) и рис. 4 б (Q ) представлены расчётные значения ρ 12 ".

Рис. 4. Объёмная плотность ρ 12 ": а) вычисленная для одноимённых зарядов по формуле (37) в пределах (–0,5 x y

Заряды расположены в плоскости (x , y ) в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Для перехода к абсолютным величинам значения плотности на графике следует умножить на константу (q /4πR 0 3). Здесь имеется неопределённость в плоскости, перпендикулярной оси x , посередине между зарядами, где φ 1 + φ 2 = 0.

В центральной зоне и её окрестностях плотность ρ 12 " принимает как положительные, так и отрицательные значения. При перемещении точки наблюдения в поле от зарядов на периферию числитель (37) уменьшается значительно быстрее, чем знаменатель. Поэтому уже вблизи зарядов и далее, на больших расстояниях, ρ 12 " → 0. Для разноимённых зарядов выполняется наглядно условие ∫ V ρ 12 "dV = 0, так как интегрирование по x от –∞ до +∞ при любом y даёт нуль. В случае одноимённых зарядов подобная проверка связана с техническими трудностями.

Сравним формулы (32) и (37). Рассматриваемый вакуум неразрывно связан с породившим его электростатическим полем, и потому он называется электромагнитным (синонимы: фотонный, электрон-позитронный). Диэлектрическая восприимчивость χ вакуума должна зависеть от характеристик поля: нет поля, – нет поляризации вакуума, χ = 0. И далее: «вакуум является ареной физических процессов, обусловленных флуктуациями вакуума» . Следовательно, с увеличением потенциала φ поля флуктуации будут более интенсивными, и восприимчивость вакуума к поляризации возрастёт. Суммируя сказанное, мы принимаем простейший вариант зависимости χ = k φ, где k = const., и вернёмся к формуле (32). После подстановки χ = k φ в (32) имеем,

Согласно работе знаменатель в формуле (38) представляет собой относительную диэлектрическую проницаемость ε среды, ε = 1 + χ = 1 + |k φ|. Знак модуля введён потому, что в изотропной среде величина χ не зависит от направления поля. Если |k φ| >> 1, то единицей в знаменателе (38) можно пренебречь, и плотность ρ 12 ", найденная из формулы (38), полностью совпадает с вычисленной по (37). Неравенство |k φ| >> 1 и, следовательно, ε >> 1 логически вписывается в модель «поляризованного» вакуума.

Переход диэлектрической проницаемости вакуума от ε = 1 (обычный вакуум) к ε >> 1 (физический вакуум) в результате взаимодействия зарядов означает, что поле аккумулирует внешнюю энергию посредством ослабления связи виртуальных частиц и создания в вакууме связанных зарядов.

Источники информации:

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 5. Электричество и магнетизм. / Пер. с англ. – М: «Мир», 1966.
2. Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Т. 2. / Пер. с англ. – М: «Наука», 1975.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М: «Наука», 1978.
4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М: «Высшая школа», 1999.
5. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. – М: «Наука», 1977.
6. Матвеев А.Н. Квантовая механика и строение атома. – М: «Высшая школа», 1985.
7. Фейнман Р. Теория фундаментальных процессов. / Пер. с англ. – М: «Наука», 1978.
8. Физический энциклопедический словарь. // Под. ред. Прохорова А.М. – М: «Советская энциклопедия», 1983.
9. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. – М: «Советское радио», 1956.
10. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. / Пер. с англ. – М: «Мир», 1966.
11. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. – М: «Наука», 1977.
12. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. / Пер. с англ. – М: «Мир», 1968.
13. Фейнман Р. Характер физических законов. Нобелевская лекция: разработка квантовой электродинамики в пространственно–временном аспекте. / Пер. с англ. – М: «Мир», 1968.
14. Фейнман Р. КЭД – странная теория света и вещества. / Пер. с англ. – М: «Наука», 1988.

Энергия взаимодействия электрических зарядов

Силы взаимодействия электрических зарядов консервативны, следовательно, система электрических зарядов обладает потенциальной энергией.

Пусть даны два точечных неподвижных заряда q 1 и q 2 , находящиеся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов в поле другого заряда обладает потенциальной энергией

; , (4.1)

где j 1,2 и j 2,1 – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом q 2 в точке нахождения заряда q 1 и зарядом q 1 в точке нахождения заряда q 2 .

, а . (4.3)

Следовательно,

. (4.4)

Для того чтобы в уравнение энергии системы оба заряда входили симметрично, выражение (4.4) можно записать в виде

. (4.5)

Добавляя к системе зарядов последовательно заряды q 3 , q 4 и т.д., можно убедиться, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы

, (4.6)

где j i – потенциал создаваемый в точке нахождения q i всеми зарядами, кроме i - го.

При непрерывном распределении зарядов в элементарном объеме dV находится заряд dq = r×dV. Для определения энергии взаимодействия заряда dq можно применить формулу (4.6), перейдя в ней от суммы к интегралу:

, (4.7)

где j – потенциал в точке элемента объема dV.

Надо отметить, что между формулами (4.6) и (4.7) существует принципиальное различие. Формула (4.6) учитывает только энергию взаимодействия между точечными зарядами, но не учитывает энергии взаимодействия элементов заряда каждого из точечных зарядов между собой (собственную энергию точечного заряда). Формула (4.7) учитывает как энергию взаимодействия между точечными зарядами, так и собственную энергию этих зарядов. При расчете энергии взаимодействия точечных зарядов она сводится к интегралам по объему V i точечных зарядов:

, (4.8)

где j i - потенциал в любой точке объема i-го точечного заряда;

j i = j i ¢ + j i с, (4.9)

где j i ¢ - потенциал, созданный другими точечными зарядами в этой же точке;

j i с – потенциал, созданный частями i-го точечного заряда в данной точке.

Так как точечные заряды можно представить сферически симметричными, то

(4.10)

где W ¢ определяется по формуле (4.6).

Значение собственной энергии зарядов зависит от законов распределения зарядов и от величины зарядов. Например, при равномерном сферическом распределении зарядов с поверхностной плотностью s

.

Следовательно,

. (4.11)

Из формулы (4.11) видно, что при R®0 величина W с ®¥. Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности. Это приводит к серьезным недостаткам понятия "точечный заряд".

Таким образом, формулу (4.6) можно применять для анализа взаимодействия точечных зарядов, поскольку она не содержит их собственной энергии. Формула (4.7) для непрерывного распределения заряда учитывает всю энергию взаимодействия, поэтому является более общей.

При наличии поверхностных зарядов вид формулы (4.7) несколько изменяется. Подынтегральное выражение этой формулы равно и имеет смысл потенциальной энергии, которой обладает элемент заряда dq, находясь в точке с потенциалом j. Эта потенциальная энергия не зависит от того, является ли dq элементом объемного или поверхностного заряда. Поэтому для поверхностного распределения dq = s×dS. Следовательно, для энергии поля поверхностных зарядов

Энергия системы неподвижных точечных зарядов . Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Потенциальная энергия системы двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q2, находящихся на расстоянии r друг от друга равна где j12 и j21 - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q2 в точке нахождения заряда Q1 и зарядом Q1 в точке нахождения заряда Q2.

В общем случае системы n неподвижных точечных зарядов энергия системы определяется по формуле:

Энергия заряженного уединенного проводника.

Энергия заряженного уединенного проводника численно равна работе, которую должны со­вершить внешние силы для его зарядки W=A. При перенесении заряда dq из бесконечности на проводник совершается ра­бота dA против сил электростатического поля.

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, необходимо совершить работу

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

Формулу можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным j, из найдем

где- заряд проводника.

Энергия электростатического поля конденсатора. Объемная плотность энергии электростатического поля.

Энергия электростатического поляконденсатора .

Преобразуем формулувыражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C=e0eS/d) и разности потенциалов между его обкладками (Dj=Ed). Тогда

где V= Sd - объем конденсатора. Формула показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, - напряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

Тема 5. Постоянный электрический ток.

Электрический ток и условия его возникновения и существования.

Электрический ток - направленное упорядоченное движение частиц - носителей электрического заряда

Для возникновения и поддержания тока в какой-либо среде необходимо выполнение двух условий:

1. наличие в среде свободных электрических зарядов

2. создание в среде электрического поля.

В разных средах носителями электрического тока являются разные заряженные частицы.

Для поддержания тока в электрической цепи на заряды кроме кулоновских сил должны действовать силы неэлектрической природы (сторонние силы).

Для существования электрического тока в замкнутой цепи необходимо включение в нее источника тока.

Сила тока и плотность тока. Единицы измерения.

Сила тока I - скалярная физическая величина, служит количественной мерой электрического тока, равная отношению количества заряда{\displaystyle \Delta Q}, прошедшего через некоторую поверхность за время{\displaystyle \Delta t}, к величине этого промежутка времени

Плотность тока – векторная физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока:

Единицей величины тока является 1 ампер.

Понятие «сторонние силы». Электродвижущая сила и напряжение. Единица измерения.

Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называются сторонними .

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи: гдеA – работа сторонних сил, q – заряд, над которым производится работа. Единицей измерения ЭДС служит вольт.

Напряжением U называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи. Таким образом Единица измерения Вольт.

Закон Ома в дифференциальной форме для участка цепи.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. В любом проводнике происходит выделение теплоты, равное работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника. Формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля..

Закон Ома для участка цепи с гальваническим элементом.

Закон Ома для участка цепи с гальваническим элементом. При прохождении электрического тока в замкнутой цепи на свободные заряды действуют силы со стороны стационарного электрического поля и сторонние силы. Участки, на которых ток создается только стационарным электрическим полем, называются однородными. Участки, на которых кроме сил стационарного электрического поля, действуют и сторонние силы называют неоднородным участком цепи.

Напряжение U на участке цепи представляет собой физическую скалярную величину, равную суммарной работе сторонних сил и сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда на этом участке:

В общем случае напряжение на участке цепи равно алгебраической сумме разности потенциалов и ЭДС на этом участке. Если же на участке действуют только электрические силы (ε = 0), то для однородного участка цепи понятия напряжения и разности потенциалов совпадают. Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид: ЭДС ε может быть как положительной, так и отрицательной. Если ЭДС способствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε > 0, в противном случае, если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε < 0.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей.

Расчет разветвленных цепей с помощью закона Ома довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Г. Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле цепи равна нулю:

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома для разветвленной цепи.Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода - отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Формула для второго правила:

Элементарная классическая электронная теория проводимости металлов и ее недостатки. Законы Ома, Джоуля-Ленца и Видемана-Франца.

Элементарная классическая электронная теория проводимости металлов. Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т.е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости металлов. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.

Закон Ома . Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к участку, и обратно пропорциональна характеристике участка, которую называют электрическим сопротивлением этого участка.

Закона Джоуля-Ленца - Температура определяется энергией ионов металла. Электроны при столкновении с ионами отдают энергию, следовательно, температура повышается. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную энергию:

Количество теплоты,выделяемое проводником с током равно произведению квадрата силы тока,сопротивления проводника и времени.

Закон Видемана -Франца. Металлы обладаюткак большой электропроводностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы - свободные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического движения, т. е. осуществляют перенос теплоты.

Недостатки теории:

1.Из опыта , из теории;

2.Квантовая теория сообщает, что электронный газ вообще не имеет теплоемкости.

3.Потенциальность электростатического поля. Скалярный потенциал. Неоднозначность скалярного потенциала и его нормировка. Потенциал точечного заряда, системы точечных зарядов и непрерывного распределения зарядов.

Элементы зонной (квантовой) теории металлов. Свободная, валентная и запрещенная зоны.

Зонная теория - один из основных разделов квантовой теории твердого тела, описывающий движение электронов в кристаллах, и являющийся основой современной теории металлов, полупроводников и диэлектриков. Электрические свойства твердого тела зависят от того, как электроны составляющих его атомов распределяются по орбитальным уровням при его кристаллизации.

Зона проводимости - в зонной теории твёрдого тела первая из незаполненных электронами зон в полупроводниках и диэлектриках. Электроны из валентной зоны, преодолев запрещённую зону, при ненулевой температуре попадают в зону проводимости и начинают участвовать в проводимости, то есть перемещаться под действием электрического поля.

Валентная зона - энергетическая область разрешённых электронных состояний в твёрдом теле, заполненная валентными электронами.

В полупроводниках при T=0 (T - абсолютная температура) валентная зона заполнена электронами целиком, и электроны не дают вклада в электропроводность и другие кинетические эффекты, вызываемые внешними полями. При T>0 К происходит тепловая генерация носителей заряда, в результате которой часть электронов переходит в расположенную выше зону проводимости или на примесные уровни в запрещённой зоне.

Запрещённая зона - область значений энергии, которыми не может обладать электрон в идеальном кристалле.

В полупроводниках запрещённой зоной называют область энергий, отделяющую полностью заполненную электронами валентную зону от незаполненной зоны проводимости. В этом случае шириной запрещённой зоны называется разность энергий между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны.

Зонная структура энергетического спектра электронов в веществе. Заполнение зон.

Все свойства веществ определяются энергетическим спектром электронов атомов данного вещества. Под терминомэнергетический спектр понимают шкалу количественных значений энергии электронов атомов данного вещества.

Физическое состояние электронов в атоме определяется четырьмя квантовыми числами: п, l, m, s. Согласно планетарной модели атома, электроны вращаются вокруг ядра по определенным орбитам - электронным оболочкам, которые принято обозначать К, L, М, Nи т.д. в зависимости от значения главного квантового числа п = 1, 2, 3, ...

Заполнение энергетических зон начинается с нижних энергетических уровней с соблюдением принципа Паули. В каждой энергетической зоне содержится ограниченное количество уровней.

По характеру заполнения зон твердые тела делятся на две группы:

К первой группе относятся тела, у которых над полностью заполненными зонами находится частично заполненная.

Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком заполненными зонами располагаются пустые зоны. По ширине запрещенной зоны тела второй группы условно делят на диэлектрики и полупроводники.

Носители тока как квазичастицы (Бозоны и Фермионы). Функция распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейнаа.

Согласно современной квантовой теории все элементарные и сложные частицы, а также квазичастицы разделяются на два класса - фермионы и бозоны.

К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны и все другие частицы, имеющие полуцелые проекции спина, т.е. L SZ =±(2n+1) /2

Система фермионов описывается распределением Ферми-Дирака : среднее число Фермионов

, приходящееся на одно квантовое состояние с данной энергией Еi i >=

К бозонам относятся фотоны, некоторые ядра атомов, квазичастицы: фононы, магноны, плазмоны, экситоны. Все они имеют проекцию спина либо равную нулю, либо равную целому числу, т.е. L SZ =±n

Система бозонов описывается распределением Бозе-Эйнштейна : среднее число бозонов áñ, приходящееся на одно квантовое состояние с энергией

Вырожденный электронный газ в металлах. Энергия Ферми. Принцип Паули.

Максималь­ная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле называется энергией Ферми Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называетсяуровнем Ферми .

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми - Дирака

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принци­пу Паули , согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых электронов, они долж­ны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следователь­но, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Квантовая теория теплоемкости. Фононы. Температура Дебая.

Согласно классической формуле теплоемкость твердых тел определяется в соответствии с законом Дюлонга и Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех химически простых кристаллических тел при достаточно высоких температурах одинакова и равна: c µ =3R . при обычных температурах молярная теплоемкость большинства твердых тел близка к значению, даваемому классической теорией и почти не зависит от температуры.

Согласно квантовой теории Эйнштейна, энергия колеблющихся ионов в решетке пропорциональна величине Е=nhν.У различных молекул твердого тела частота может быть различна, поэтому и энергии различны.

Температура Дебая - физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел: теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность,уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Температура Дебая определяется следующей формулой:

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.

Фонон - квазичастица, представляющая собой квант упругих колебаний среды. Понятие фонон играет важную роль в описании свойств твердого тела: кристаллическая решетка по тепловым свойствам аналогична газу фонон. Квазичастицы представляют собой кванты элементарных возбуждений системы. Подобно обычным частицам, квазичастицы могут быть охарактеризованы энергией, импульсом, спином и т. д.

Квантовая теория электропроводности металлов.

Квантовая теория электропроводности металлов – теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике н квантовой статистике Ферми-Дирака. Она пересмотрела расчет электропроводности металлов, который привел к выражению для удельной электрической проводимости металла

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка ведет себя подобно оптически однородной среде – она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току – упорядоченному движению электронов – никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

Явление сверхпроводимости. Куперовская пара. Эффект Джозефеона.

Сверхпроводимость - физическое явление, заключающиеся в скачкообразном падении до нуля сопротивления вещества. Сверхпроводимость исчезает под влиянием следующих факторов:повышение температуры, действие достаточно сильного магнитного поля, достаточно больше плотность тока в образце. Переход от сверхпроводящего состояния до нормального путем повышения магнитного поля при температуре ниже критической.

Ку́перовская па́ра - связанное состояние двух взаимодействующих через фонон электронов. Обладает нулевым спином и зарядом, равным удвоенному заряду электрона. Чтобы куперовскую пару разрушить,надо за­тратить некоторую энергию, которая пой­дет на преодоление сил притяжения элек­тронов пары.

Эффект Джозефсона - явление протекания сверхпроводящего тока через тонкий слой диэлектрика, разделяющий два сверхпроводника. Такой ток называют джозефсоновским током, а такое соединение сверхпроводников - джозефсоновским контактом.

Собственная проводимость полупроводников.

Собственная проводимость возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока - электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны; одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест на верхних уровнях, в результате чего появляются дырки. Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости описывается функцией Ферми - Дирака. Собственная проводимость проводников зависит от температуры по закону. Примеси вносят изменения в электропроводность полупроводников.

Приместная проводимость полупроводников.

Примесная проводимость полупроводников - электрическая проводимость, обусловленная наличием в полупроводнике донорных или акцепторных примесей. Примесная проводимость, как правило, намного превышает собственную, и поэтому электрические свойства полупроводников определяются типом и количеством введенных в него легирующих примесей. Примесными центрами могут быть:

Атомы или ионы химических элементов, внедренные в решетку полупроводника;

Избыточные атомы или ионы, внедренные в междоузлия решетки;

Различного рода другие дефекты и искажения в кристаллической решетке: пустые узлы, трещины, сдвиги, возникающие при деформациях кристаллов, и др.

Если в полупроводник одновременно вводятся и донорные и акцепторные примеси, то характер проводимости определяется примесью с более высокой концентрацией носителей тока - электронов или дырок.

Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Единица измерения магнитной индукции. Линии магнитной индукции. Правило правового винта.

Магнитное поле -это особая форма, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися электрически заряженными частицами.

Вектор магнитной индукции [Тл]: это силовая характеристика магнитного поля. Направление векторно магнитной индукции - это направление от южного полюса к северному полюсу магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле

Магнитная индукция измеряется в Теслах – Тл(кг·с−2·А−1).

Линии магнитной индукции - линии, касательные к которым направлены направлены также как и вектор магнитной индукции в данной точке поля.

Пра́вило бура́вчика (правило правой руки) :Если большой палец правой руки расположить по направлению тока, то направлениеобхвата проводника четырьмя пальцами покажет направление линий магнитной индукции.

Напряженность магнитного поля и ее связь с вектором магнитной индукции. Единица напряженности магнитного поля. Магнитная проницаемость среды.

Напряжённость магнитного поля - векторная физическая величина, являющаяся количественной характеристикой магнитного поля напряжённость магнитного поля не зависит от магнитных свойств среды.Единицей напряжённость магнитного поля в СИ является ампер на метр.

Связь с вектором магнитной индукции: напряжённость магни́тного по́ля равна разности векторамагнитной индукцииB ивектора намагниченностиM. Обычно, обозначается символом Н.

Магнитная проницаемость - физическая величина, характеризующая связь между магнитной индукцией B и напряжённостью магнитного поля в веществе. В общем случае зависит как от свойств вещества, так и от величины и направления магнитного поля. В общем виде вводится следующим образом:. магнитная проницаемость - безразмерная величина, в системе СИ вводят как размерную так и безразмерную магнитные проницаемости:.

Закон Ампера. Правило левой руки.

Сила Ампера : это сила, действующая на проводник с током, помещенный в магнитное поле

Закон Ампера : сила Ампера равна произведению модуля вектора магнитной индукции на силу тока, длину участка проводника Δl и на синус угла α между магнитной индукцией и участком проводника: . F=B . I . ℓ . sin α - закон Ампера .

Правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы вектор магнитной индукции входил в руку, то есть был направлен на неё, а пальцы вытянуты вдоль направления движения тока, то большой палец покажет направление силы Ампера, действующей на отрезок проводника.

Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей.

Закон Био́ - Савáра - Лапла́са - физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током.

При прохождении постоянного тока по замкнутому контуру, находящемуся в вакууме, для точки, отстоящей на расстоянии r0, от контура магнитная индукция будет иметь вид:Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула

Магнитное иоле прямолинейною проводника с током.

Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему

концентрических окружностей, охватывающих ток. Направление силовых линий магнитного поля прямолинейного проводника определяется по правилу буравчика:

Магнитное поле кругового тока.

Магнитное поле кругового тока - Создается током текущему по тонкому круглому проводу

формула для магнитного поля кругового тока

Магнитное поле движущегося заряда.

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов, поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. Закон, определяющий магнитное поле точеного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью υ, выражается формулой

В векторной форме Модуль магнитной индукции

Для отрицательного заряда направление магнитной индукции поменяется на противоположное

Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда Q , свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v.Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой

где r - радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М (рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и г, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к г.

Действие внешнего магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца.

Движущиеся электрические заряды создают вокруг себя магнитное поле, которое распространяется в вакууме со скоростью света, При движении заряда во внешнем магнитном поле возникает силовое взаимодействие магнитных полей, определяемое по закону Ампера. По проводнику dl за промежуток времени dt проходит nодинаковых зарядов величиной dq, т.е. через проводник протекает ток, сила которогоСила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд, равна-Сила Лоренца.

Эффект Холла.

Эффе́кт Хо́лла - явление возникновения поперечной разности потенциалов при помещении проводника с постоянным током в магнитное поле. Открыт Эдвином Холлом в 1879 году в тонких пластинках золота.

Эффект Холла позволяет определить концентрацию и подвижность носителей заряда, а в некоторых случаях − тип носителей заряда в металле или полупроводнике, что делает его достаточно хорошим методом исследования свойств полупроводников