Глава 8
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
§1.Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
§2.Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
§З.Электростатическая энергия ионного кристалла
§4.Электростатическая энергия ядра
§5.Энергия в электростатическом поле
§6.Энергия точечного заряда
Повторить: гл. 4 (вып. 1) «Сохранение энергии»; гл. 13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»
§ 1. Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
Одно из самых интересных и полезных открытий в механике -это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.
Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q 1 и q 2 , разделенные промежутком r 12 . У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна
Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Отсюда следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражающих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если q i и q j - - какие-то два из зарядов, а расстояние между ними r ij (фиг. 8.1),
Фиг. 8.1. Электростатическая анергия системы частиц есть сумма электростатических энергий каждой пары.
то энергия именно этой пары равна
Полная электростатическая энергия U есть сумма энергий всевозможных пар зарядов:
Если распределение задается плотностью заряда r, то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.
Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Первая - применение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая - разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.
Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от rдо r+dr. Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Q r -- это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ, равна
Фиг. 8.2. Энергию однородно заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.
Если плотность заряда внутри шара есть r, то заряд Q r равен
Уравнение (8.4) превращается в
Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по dU от r=0 до r=а, т.е.
а если мы желаем выразить результат через полный заряд Q шара, то
Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и обратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/r ij) по всем парам точек внутри шара равно 6 / 5 а.
§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q был снят с одной обкладки конденсатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная
где С - емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы поступали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен переносом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ. Работа, требуемая для переноса заряда dQ ,равна
Взяв V из (8.8), напишем
Или, интегрируя от Q=0 до конечного заряда Q, получаем
Эту энергию можно также записать в виде
Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна
мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы
Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом Q; получается 5 / 6 энергии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].
Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутящий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный проводник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).
Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы представим, что промежуток между пластинами расширился на небольшую величину Dz, то тогда механическая работа, производимая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна
где F - сила, действующая между обкладками. Эта работа обязана быть равной изменению электростатической энергии конденсатора, если только заряд конденсатора не изменился.
Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первоначально была равна
Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величины заряда) тогда равно
Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем
что может также быть записано в виде
Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако, что заботиться о том, как там они распределены, нам нечего; единственное, что нам нужно, - это учесть емкость С.
Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произвольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в уравнении (8.14) F той составляющей, которая нас интересует, а Dz - малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хотим знать вращательный момент t, то запишем виртуальную работу в виде
где Dq - небольшой угловой поворот. Конечно, теперь D(1/C) должно быть изменением 1/С, отвечающим повороту на Dq.
Фиг. 8.3. Чему равен вращательный момент, действующий на переменный конденсатор?
Таким способом мы можем определить вращательный момент, действующий на подвижные пластины переменного конденсатора, показанного на фиг. 8.3.
Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:
где А- площадь каждой обкладки. Если промежуток увеличится на Dz, то
Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна
Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде
то (8.17) можно будет переписать так:
Или поскольку поле между пластинами равно
Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду Q этой пластины, умноженному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель 1 / 2 . Дело в том, что Е 0 - это не то поле, которое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверхности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е 0 в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно Е 0 /2. Вот отчего в (8.18) стоит множитель 1 / 2 .
Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая виртуальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с другими предметами и полный заряд не мог изменяться.
Фиг. 8.4. Поле у поверхности проводника меняется от нуля до E 0 =s/e 0 , когда пересечен слой поверхностного заряда. 1 - проводящая пластина; 2 - слой поверхностного заряда.
А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных перемещениях конденсатор поддерживается при постоянной разности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять
и вместо (8.15) мы бы имели
что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как V = Q/C), но с противоположным знаком!
Конечно, сила, действующая между пластинами конденсатора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две пластины с разноименными электрическими зарядами должны притягиваться. Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не приняли во внимание виртуальную работу, производимую источником, заряжающим конденсатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном значении V, когда меняется емкость, источник электричества должен снабдить конденсатор зарядом VDC. Но этот заряд поступает при потенциале V, так что работа, выполняемая электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна V 2 DC. Механическая работа.FDz плюс эта электрическая работа V 2 DC вместе приводят к изменению полной энергии конденсатора на 1 / 2 V 2 DC. Поэтому на механическую работу, как и прежде, приходится F Dz=- 1 / 2 V 2 DC.
§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла
Рассмотрим теперь применение понятия электростатической энергии в атомной физике. Мы не можем запросто измерять силы, действующие между атомами, но часто нас интересует разница в энергиях двух расстановок атомов (к примеру, энергия химических изменений). Так как атомные силы в основе своей - это силы электрические, то и химическая энергия в главной своей части - это просто электростатическая энергия.
Рассмотрим, например, электростатическую энергию ионной решетки. Ионный кристалл, такой, как NaCl, состоит из положительных и отрицательных ионов, которые можно считать жесткими сферами. Они электрически притягиваются, пока не соприкоснутся; затем вступает в дело сила отталкивания, которая быстро возрастает, если мы попытаемся сблизить их теснее.
Для первоначального приближения вообразим себе совокупность жестких сфер, представляющих атомы в кристалле соли. Строение такой решетки было определено с помощью дифракции рентгеновских лучей. Эта решетка кубическая - что-то вроде трехмерной шахматной доски. Сечение ее изображено на фиг. 8.5. Промежуток между ионами 2,81 Е (или 2,81·10 -8 см).
Если наше представление о системе правильно, мы должны уметь проверить его, задав следующий вопрос: сколько понадобится энергии, чтобы разбросать эти ионы, т. е. полностью разделить кристалл на ионы? Эта энергия должна быть равна теплоте испарения соли плюс энергия, требуемая для диссоциации молекул на ионы. Полная энергия разделения NaCl на ионы, как следует из опыта, равна 7,92 эв на молекулу.
Фиг. 8.5. Поперечный разрез кристалла соли в масштабе нескольких атомов.
В двух перпендикулярных к плоскости рисунка сечениях будет такое же шахматное расположение ионов Na и Сl (см. вып. 1, фиг. 1.7).
Пользуясь коэффициентом перевода
и числом Авогадро (количество молекул в грамм-молекуле)
можно представить энергию испарения в виде
Излюбленная единица энергии, которой пользуются физико-химики,- килокалория, равная 4190 дж; так что 1 эв на молекулу - это все равно что 23 ккал/моль. Химик сказал бы поэтому, что энергия диссоциации NaCl равна
Можем ли мы получить эту химическую энергию теоретически, подсчитывая, сколько работы понадобится для того, чтобы распотрошить кристалл? По нашей теории она равна сумме потенциальных энергий всех пар ионов. Проще всего составить себе представление об этой энергии, выбрав какой-то один ион и подсчитав его потенциальную энергию по отношению ко всем прочим ионам. Это даст удвоенную энергию на один ион, потому что энергия принадлежит парам зарядов. Если нам нужна энергия, связанная с одним каким-то ионом, то мы должны взять полусумму. Но на самом деле нам нужна энергия на молекулу, содержащую два иона, так что вычисляемая нами сумма прямо даст нам энергию на молекулу.
Энергия иона по отношению к его ближайшему соседу равна -e 2 /a, где e 2 =q 2 e /4pe 0 , а а - промежуток между центрами ионов. (Мы рассматриваем одновалентные ионы.) Эта энергия равна -5,12 эв; мы уже видим, что ответ получается правильного порядка величины. Но нам еще предстоит подсчитать бесконечный ряд членов.
Начнем со сложения энергий всех ионов, лежащих по прямой. Считая ион, отмеченный на фиг. 8.5 значком Na, нашим выделенным ионом, сперва рассмотрим те ионы, которые лежат на одной с ним горизонтали. Там есть два ближайших к нему иона хлора с отрицательными зарядами, на расстоянии я от Na каждый. Затем идут два положительных иона на расстояниях 2а и т. д. Обозначая эту сумму энергий U 1 , напишем
Ряд сходится медленно, так что численно его оценить трудно,
но известно, что он равен ln2. Значит,
Теперь перейдем к ближайшей линии, примыкающей сверху. Ближайший ион отрицателен и находится на расстоянии а. Затем стоят два положительных на расстоянияхЦ2а. Следующая пара - на расстоянии Ц5а, следующая- наЦ10а и т. д. Для всей линии получается ряд
Таких линий четыре: выше, ниже, спереди и сзади. Затем имеются четыре линии, которые являются ближайшими по диагонали, и т. д. и т. д.
Если вы терпеливо произведете подсчеты для всех линий и затем все сложите, то увидите, что итог таков:
Это число немного больше того, что было получено в (8.20) для первой линии. Учитывая, что е 2 /а=- 5,12 эв, мы получим
Наш ответ приблизительно на 10% больше экспериментально наблюдаемой энергии. Он показывает, что наше представление о том, что вся решетка скрепляется электрическими кулоновскими силами, в основе своей правильно. Мы впервые получили специфическое свойство макроскопического вещества из наших познаний в атомной физике. Со временем мы добьемся гораздо большего. Область науки, пробующая понять поведение больших масс вещества на языке законов атомного поведения, называется физикой твердого тела.
А как же с ошибкой в наших расчетах? Почему они не до конца верны? Мы не учли отталкивание между ионами на близких расстояниях. Это ведь не совершенно жесткие сферы, так что, сблизясь, они немного сплющиваются. Но они не очень мягкие и сплющиваются самую чуточку. Все же какая-то энергия уходит на эту деформацию, и вот, когда ионы разлетаются, эта энергия высвобождается. Энергия, которая на самом деле нужна для того, чтобы развести все ионы врозь, чуть меньше той, которую мы вычислили; отталкивание помогает преодолеть электростатическое притяжение.
А есть ли возможность как-то прикинуть долю этого отталкивания? Да, если мы знаем закон силы отталкивания. Мы еще не умеем пока анализировать детали механизма отталкивания, но некоторое представление о его характеристиках мы можем получить из макроскопических измерений. Измеряя сжимаемость кристалла как целого, можно получить количественное представление о законе отталкивания между ионами, а отсюда - о его вкладе в энергию. Таким путем было обнаружено, что вклад этот должен составлять 1/9,4 часть вклада от электростатического притяжения и иметь, естественно, противоположный знак. Если этот вклад мы вычтем из чисто электростатической энергии, то получим для энергии диссоциации на молекулу число 7,99 эв. Это намного ближе к наблюдаемому результату 7,92 эв, но все еще не находится в совершенном согласии. Есть еще одна вещь, которую мы не учли: мы не сделали никаких допущений о кинетической энергии колебаний кристалла. Если сделать поправку на этот эффект, то сразу возникнет очень хорошее согласие с экспериментальной величиной. Значит, наши представления правильны: главный вклад в энергию кристалла, такого, как NaCl, является электростатическим.
§ 4. Электростатическая энергия ядра
Обратимся теперь к другому примеру электростатической энергии в атомной физике - к электростатической энергии атомного ядра. Прежде чем заняться этим вопросом, мы должны рассмотреть некоторые свойства тех основных сил (называемых ядерными силами), которые скрепляют между собой протоны и нейтроны в ядре. Первое время после открытия ядер - и протонов с нейтронами, которые их составляют,- надеялись, что закон сильной, неэлектрической части силы, действующей, например, между одним протоном и другим, будет иметь какой-нибудь простой вид, подобный, скажем, закону обратных квадратов в электричестве. Если бы удалось определить этот закон сил и, кроме того, сил, действующих между протоном и нейтроном и между нейтроном и нейтроном, то тогда можно было бы теоретически описать все поведение этих частиц в ядрах. Поэтому начала разворачиваться большая программа изучения рассеяния протонов в надежде отыскать закон сил, действующих между ними; но после тридцатилетних усилий ничего простого не возникло. Накопился заметный багаж знаний о силах, действующих между протоном и протоном, но при этом обнаружилось, что эти силы сложны настолько, насколько возможно себе представить.
Под словами «сложны настолько, насколько возможно» мы понимаем, что силы зависят от всех величин, от каких они могли бы зависеть.
Во-первых, сила не простая функция расстояния между протонами. На больших расстояниях существует притяжение, на меньших - отталкивание.
Фиг. 8.6. Сила взаимодействия двух протонов зависит от всех мыслимых параметров.
Зависимость от расстояния - это некоторая сложная функция, все еще не очень хорошо известная. Во-вторых, сила зависит от ориентации спина протонов. У протонов есть спин, а два взаимодействующих протона могут вращаться либо в одном и том же, либо в противоположных направлениях. И сила, когда спины параллельны, отличается от того, что бывает, когда спины антипараллельны (фиг. 8.6, а и б). Разница велика; пренебречь ею нельзя.
В-третьих, сила заметно изменяется, смотря по тому, параллелен или нет промежуток между протонами их спинам (фиг. 8.6, в и г) или же он им перпендикулярен (фиг. 8.6, а и б).
В-четвертых, сила, как и в магнетизме, зависит (и даже значительно сильнее) от скорости протонов. И эта скоростная зависимость силы отнюдь не релятивистский эффект; она велика даже тогда, когда скорости намного меньше скорости света. Более того, эта часть силы зависит, кроме величины скорости, и от других вещей. Скажем, когда протон движется невдалеке от другого протона, сила меняется от того, совпадает ли орбитальное движение по направлению со спиновым вращением (фиг. 8.6, д), или эти два направления противоположны (фиг. 8.6, е). Это то, что называется «спин-орбитальной» частью силы.
Не в меньшей степени сложный характер имеют силы взаимодействия протона с нейтроном и нейтрона с нейтроном. До сего дня мы не знаем механизма, определяющего эти силы, не знаем никакого простого способа их понять.
Впрочем, в одном важном отношении ядерные силы все же проще, чем могли бы быть. Ядерные силы, действующие между двумя нейтронами, совпадают с силами, действующими между протоном и нейтроном, и с силами, действующими между двумя протонами! Если в некоторой системе, в которой имеются ядра, мы заменим нейтрон протоном (и наоборот), то ядерные взаимодействия не изменятся! «Фундаментальная причина» этого равенства нам не известна, но это проявление важного принципа, который может быть расширен на законы взаимодействия других сильно взаимодействующих частиц, таких, как л-мезоны и «странные» частицы.
Этот факт прекрасно иллюстрируется расположением уровней энергии в похожих ядрах.
Фиг. 8.7. Энергетические уровни ядер В 11 и С 11 (энергии в Мэв). Основное состояние С 11 на 1,982 Мэв выше, чем то же состояние В 11 .
Рассмотрим такое ядро, как В 11 (бор-одиннадцать), состоящее из пяти протонов и шести нейтронов. В ядре эти одиннадцать частиц взаимодействуют друг с другом, совершая какой-то замысловатый танец. Но существует такое сочетание всех возможных взаимодействий, которое обладает энергией, наинизшей из возможных; это нормальное состояние ядра, и его называют основным. Если ядро возмутить (скажем, стукнув по нему высокоэнергичным протоном или еще какой-то частицей), то оно может перейти в любое число других конфигураций, называемых возбужденными состояниями, каждое из которых будет обладать своей характеристической энергией, которая выше энергии основного состояния. В исследованиях по ядерной физике, скажем проводимых с генератором Ван-де-Граафа, энергии и другие свойства этих возбужденных состояний определяются экспериментально. Энергии пятнадцати наинизших из известных возбужденных состояний В 11 показаны на одномерной схеме в левой половине фиг. 8.7. Горизонталь внизу представляет основное состояние. Первое возбужденное состояние имеет энергию на 2,14 Мэв выше, чем основное, следующее - на 4,46 Мэв выше, чем основное, и т. д. Исследователи пытаются найти объяснение этой довольно запутанной картины уровней энергии; пока, однако, нет еще полной общей теории таких ядерных уровней энергии.
Если в В 11 заменить один из нейтронов протоном, получится ядро изотопа углерода С 11 . Энергии шестнадцати низших возбужденных состояний ядра С 11 тоже были измерены; они показаны на фиг. 8.7 справа. (Штрихами проведены уровни, для которых экспериментальная информация находится под вопросом.)
Глядя на фиг. 8.7, мы замечаем поразительное подобие между картинами уровней энергии обоих ядер. Первые возбужденные состояния находятся примерно на 2 Мэв выше основного. Затем имеется широкая щель шириной 2,3 Мэв, отделяющая второе возбужденное состояние от первого, затем небольшой скачок на 0,5 Мэв до третьего уровня. Потом опять большой скачок от четвертого до пятого уровня, но между пятым и шестым узкий промежуток в 0,1 Мэв. И так далее. Примерно на десятом уровне соответствие, видимо, пропадает, но его все еще можно обнаружить, если пометить уровни другими характеристиками, скажем их моментами количества движения, и тем, каким способом они теряют свой избыток энергии.
Впечатляющее подобие картины уровней энергии ядер В 11 и С 11 - отнюдь не просто совпадение. Оно скрывает за собой некоторый физический закон. И действительно, оно показывает, что даже в сложных условиях ядра замена нейтрона протоном мало что изменит. Это может значить лишь то, что нейтрон-нейтронные и протон-протонные силы должны быть почти одинаковыми. Только тогда мы могли бы ожидать, что ядерные конфигурации из пяти протонов и шести нейтронов совпадут с комбинацией «пять нейтронов - шесть протонов».
Заметьте, что свойства этих ядер ничего не говорят нам о нейтрон-протонных силах; число нейтрон-протонных комбинаций в обоих ядрах одинаково. Но если мы сравним два других ядра, таких, как С 14 с его шестью протонами и восемью нейтронами и N 14 , в котором и тех, и других по семи штук, то выявим в энергетических уровнях такое же соответствие. Можно вывести заключение, что р-р-, n-n- и р -n-силы совпадают между собой во всех деталях. В законах ядерных сил возник неожиданный принцип. Хотя силы, действующие между каждой парой ядерных частиц, очень запутаны, но силы взаимодействия для любой из трех мыслимых пар одни и те же.
Однако есть и какие-то слабые отличия. Точного соответствия уровней нет; кроме того, основное состояние С 11 обладает абсолютной энергией (массой), которая на 1,982 Мэв выше основного состояния В 11 . Все прочие уровни тоже по абсолютной величине энергии выше на такое же число. Так что силы не совсем точно равны. Но мы и так хорошо знаем, что полная, величина сил не совсем одинакова; между двумя протонами действуют электрические силы, ведь каждый из них заряжен положительно, а между нейтронами таких сил нет. Может быть, различие между В 11 и С 11 объясняется тем фактом, что в этих двух случаях различны электрические взаимодействия протонов? А может, и остающаяся минимальная разница в уровнях вызывается электрическими эффектами? Раз уж ядерные силы так сильны по сравнению с электрическими, то электрические эффекты могли бы только слегка возмутить энергии уровней.
Чтобы проверить это представление или, лучше сказать, чтобы выяснить, к каким следствиям оно приведет, мы сперва рассмотрим разницу в энергиях основных состояний обоих ядер. Чтобы модель была совсем простой, положим, что ядра - это шары радиуса r (который нужно определить), содержащие Z протонов. Если считать ядро шаром с равномерно распределенным зарядом, то можно ожидать, что электростатическая энергия [из уравнения (8.7)] окажется равной
где q e - элементарный заряд протона. Из-за того, что Z равно для В 11 пяти, а для С 11 шести, электростатические энергии будут различаться.
Но при таком малом количестве протонов уравнение (8.22) не совсем правильно. Если мы подсчитаем электрическую энергию взаимодействия всех пар протонов, рассматриваемых как точки, примерно однородно распределенные по шару, то увидим, что величину Z 2 в (8.22) придется заменить на Z(Z- 1), так что энергия будет равна
Если известен радиус ядра r, мы можем воспользоваться выражением (8.23), чтобы определить разницу электростатических энергий ядер В 11 и С 11 . Но проделаем обратное: из наблюдаемой разницы в энергиях вычислим радиус, считая, что вся существующая разница по происхождению - электростатическая. В общем, это не совсем верно. Разность энергий 1,982 Мэв двух основных состояний В 11 и С 11 включает энергии покоя, т. е. энергии тc 2 всех частиц. Переходя от В 11 к С 11 , мы замещаем нейтрон протоном, масса которого чуть поменьше. Так что часть разности энергий - это разница в массах покоя нейтрона и протона, составляющая 0,784 Мэв. Та разность, которую надо сравнивать с электростатической энергией, тем самым больше 1,982 Мэв; она равна
Подставив эту энергию в (8.23), для радиуса В 11 или С 11 получим
Имеет ли это число какой-нибудь смысл? Чтобы это проверить, сравним его с другими определениями радиусов этих ядер.
Например, можно определить радиус ядра иначе, наблюдая, как рассеивает оно быстрые частицы. В ходе этих измерений выяснилось, что плотность вещества во всех ядрах примерно одинакова, т. е. их объемы пропорциональны числу содержащихся в них частиц. Если через А обозначить число протонов и нейтронов в ядре (число, очень близко пропорциональное его массе), то оказывается, что радиус ядра дается выражением
Из этих измерений мы получим, что радиус ядра В 11 (или С 1 1)должен быть примерно равен
Сравнив это с выражением (8.24), мы увидим, что наши предположения об электростатическом происхождении разницы в энергиях В 11 и С 11 не столь неверны; расхождение едва ли достигает 15% (а это не так уж скверно для первого расчета по теории ядра!).
Причина расхождения, по всей вероятности, состоит в следующем. Согласно нашему нынешнему пониманию ядер, четное количество ядерных частиц (в случае В 11 пять нейтронов с пятью протонами) образует своего рода оболочку; когда к этой оболочке добавляется еще одна частица, то вместо того, чтобы поглотиться, она начинает обращаться вокруг оболочки. Если это так, то для добавочного протона нужно взять другое значение электростатической энергии. Нужно считать, что избыток энергии С 11 над В 11 как раз равен
т. е. равен энергии, необходимой для того, чтобы снаружи оболочки появился еще один протон. Это число составляет 5 / 6 величины, предсказываемой уравнением (8.23), так что новое значение радиуса будет равно 5 / 6 от (8.24). Оно намного лучше согласуется с прямыми измерениями.
Согласие в цифрах приводит к двум выводам. Первый: законы электричества, видимо, действуют и на столь малых расстояниях, как 10 -1 3 см. Второй: мы убедились в замечательном совпадении - неэлектрическая часть сил взаимодействия протона с протоном, нейтрона с нейтроном и протона с нейтроном одинакова.
§ 5. Энергия в электростатическом поле
Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатической энергии. Все они могут быть получены из основного соотношения (8.3) суммированием (по всем парам) взаимных энергий каждой пары зарядов. Прежде всего, мы хотим написать выражение для энергии распределения зарядов. Как обычно, считаем, что каждый элемент объема dV содержит в себе элемент заряда pdV. Тогда уравнение (8.3) запишется так:
Обратите внимание на появление множителя 1 / 2 . Он возник из-за того, что в двойном интеграле по dV 1 и по dV 2 каждая пара элементов заряда считалась дважды. (Не существует удобной записи интеграла, в которой каждая пара считалась бы только по одному разу.) Затем заметьте, что интеграл по dV 2 в (8.27) - это просто потенциал в точке (1), т. е.
так что (8.27) можно записать в виде
А так как точка (2) при этом выпала, то можно написать просто
Это уравнение можно истолковать так. Потенциальная энергия заряда rdV равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от jrdV. Но, кроме этого, есть множитель 1 / 2 . Он все еще необходим, потому что энергии считаются дважды. Взаимная энергия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в этой точке. Или заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать
Обратите внимание, что это же можно написать и так:
Интеграл в (8.28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (8.29). Вот зачем нужен множитель 1 / 2 .
Интересен и такой вопрос: где размещается электростатическая энергия? Правда, можно в ответ спросить: а не все ли равно?
Есть ли смысл у такого вопроса? Если имеется пара взаимодействующих зарядов, то их сочетание обладает некоторой энергией. Неужели нужно непременно уточнять, что энергия сосредоточена на этом заряде, или на том, или на обоих сразу, или между ними? Все эти вопросы лишены смысла, потому что мы знаем, что на самом деле сохраняется только полная, суммарная энергия. Представление о том, что энергия сосредоточена где-то, не так уж необходимо.
Ну а все же предположим, что в том, что энергия всегда сосредоточена в каком-то определенном месте (подобно тепловой энергии), действительно смысл есть. Тогда мы могли бы наш принцип сохранения энергии расширить, соединив его с идеей о том, что если в каком-то объеме энергия меняется, то это изменение можно учесть, наблюдая приток или отток энергии из объема. Вы ведь понимаете, что наше первоначальное утверждение о сохранении энергии по-прежнему будет превосходно выполняться, если какая-то энергия пропадет в одном месте и возникнет где-то далеко в другом, а в промежутке между этими местами ничего не случится (ничего - это значит не случится каких-либо явлений особого рода). Поэтому мы можем перейти теперь к расширению наших идей о сохранении энергии. Назовем это расширение принципом локального (местного) сохранения энергии. Такой принцип провозглашал бы, что энергия внутри любого данного объема изменяется лишь на количество, равное притоку (или убыли) энергии в объем (или из него). И действительно, такое локальное сохранение энергии вполне возможно. Если это так, то в нашем распоряжении будет куда более детальный закон, чем простое утверждение о сохранении полной энергии. И, как оказывается, в природе энергия действительно сохраняется локально, в каждом месте порознь, и можно написать формулы, показывающие, где энергия сосредоточена и как она перетекает с места на место.
Имеется и физический резон в требовании, чтобы мы были в состоянии указать, где именно заключена энергия. По теории тяготения всякая масса есть источник гравитационного притяжения. А по закону Е=тс 2 мы также знаем, что масса и энергия вполне равноценны друг другу. Стало быть, всякая энергия является источником силы тяготения. И если б мы не могли узнать, где находится энергия, мы бы не могли знать, где расположена масса. Мы не могли бы сказать, где размещаются источники поля тяготения. И теория тяготения стала бы неполной.
Конечно, если мы ограничимся электростатикой, то способа узнать, где сосредоточена энергия, у нас нет. Но полная система максвелловских уравнений электродинамики снабдит нас несравненно более полной информацией (хотя и тогда, строго говоря, ответ до конца определенным не станет). Подробнее мы этот вопрос рассмотрим позже. А сейчас приведем лишь результат, касающийся частного случая электростатики
Фиг. 8.8. Каждый элемент объема dV=dxdydz в электрическом поле содержит в себе энергию (e 0 /2) E 2 dV.
Энергия заключена в том пространстве, где имеется электрическое поле. Это, видимо, вполне разумно, потому что известно, что, ускоряясь, заряды излучают электрические поля. И когда свет или радиоволны распространяются от точки к точке, они переносят с собой свою энергию. Но в этих волнах нет зарядов. Так что энергию хотелось бы размещать там, где есть электромагнитное поле, а не там, где есть заряды, создающие это поле. Таким образом, мы описываем энергию не на языке зарядов, а на языке создаваемых ими полей. Действительно, мы можем показать, что уравнение (8.28) численно совпадает с
Эту формулу можно толковать, говоря, что в том месте пространства, где присутствует электрическое поле, сосредоточена и энергия; плотность ее (количество энергии в единице объема) равна
Эта идея иллюстрируется фиг. 8.8.
Чтобы показать, что уравнение (8.30) согласуется с нашими законами электростатики, начнем с того, что введем в уравнение (8.28) соотношение между r и j, полученное в гл. 6:
Расписав покомпонентно подынтегральное выражение, мы
увидим, что
А наш интеграл энергий тогда равен
С помощью теоремы Гаусса второй интеграл можно превратить в интеграл по поверхности:
Этот интеграл мы подсчитаем для того случая, когда поверхность простирается до бесконечности (так что интеграл по объему обращается в интеграл по всему пространству), а все заряды расположены на конечном расстоянии друг от друга. Проще всего это сделать, взяв поверхность сферы огромного радиуса с центром в начале координат. Мы знаем, что вдали от всех зарядов j изменяется как 1/R, a Сj как 1/R 2 . (И даже быстрее, если суммарный заряд нуль.) Площадь же поверхности большой сферы растет только как R 2 , так что интеграл по поверхности убывает по мере возрастания радиуса сферы как
(1/R)(1/R 2)/R 2 = (1/R). Итак, если наше интегрирование захватит собой все пространство (R® Ґ), то поверхностный интеграл обратится в нуль, и мы обнаружим
Мы видим, что существует возможность представить энергию произвольного распределения зарядов в виде интеграла от плотности энергии, сосредоточенной в поле.
§ 6. Энергия точечного заряда
Новое соотношение (8.35) говорит нам, что даже у отдельного точечного заряда q имеется какая-то электростатическая энергия. Поле в этом случае дается выражением
так что плотность энергии на расстоянии rот заряда равна
За элемент объема можно принять сферический слой толщиной dr, по площади равный 4pr 2 . Полная энергия будет
Верхний предел г=Ґ не приводит к затруднениям. Но раз заряд точечный, то мы намерены интегрировать до самого нуля (r=0), а это означает бесконечность в интеграле. Уравнение (8.35) утверждает, что в поле одного точечного заряда содержится бесконечно много энергии, хотя начали мы с представления о том, что энергия имеется только между точечными зарядами. В нашу первоначальную форму для энергии совокупности точечных зарядов (8.3) мы не включили никакой энергии взаимодействия заряда с самим собой. Что же потом случилось? А то, что, переходя в уравнении (8.27) к непрерывному распределению зарядов, мы засчитывали в общую сумму взаимодействие всякого бесконечно малого заряда со всеми прочими бесконечно малыми зарядами. Тот же учет велся и в уравнении (8.35), так что, когда мы применяем его к конечному точечному заряду, мы включаем в интеграл энергию, которая понадобилась бы, чтобы накопить этот заряд из бесконечно малых частей. И действительно, вы могли заметить, что результат, следующий из уравнения (8.36), мы могли бы получить также из выражения (8.11) для энергии заряженного шара, устремив его радиус к нулю.
Мы вынуждены прийти к заключению, что представление о том, будто энергия сосредоточена в поле, не согласуется с предположением о существовании точечных зарядов. Один путь преодоления этой трудности - это говорить, что элементарные заряды (такие, как электрон) на самом деле вовсе не точки, а небольшие зарядовые распределения. Но можно говорить и обратное: неправильность коренится в нашей теории электричества на очень малых расстояниях или в нашем представлении о сохранении энергии в каждом месте порознь. Но каждая такая точка зрения все равно встречается с затруднениями. И их никогда еще не удавалось преодолеть; существуют они и по сей день. Немного позже, когда мы познакомимся с некоторыми дополнительными представлениями, такими, как импульс электромагнитного поля, мы более подробно поговорим об этих основных трудностях в нашем понимании природы
Энергия системы неподвижных точечных зарядов . Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Потенциальная энергия системы двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q2, находящихся на расстоянии r друг от друга равна где j12 и j21 - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q2 в точке нахождения заряда Q1 и зарядом Q1 в точке нахождения заряда Q2.
В общем случае системы n неподвижных точечных зарядов энергия системы определяется по формуле:
Энергия заряженного уединенного проводника.
Энергия заряженного уединенного проводника численно равна работе, которую должны совершить внешние силы для его зарядки W=A. При перенесении заряда dq из бесконечности на проводник совершается работа dA против сил электростатического поля.
Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, необходимо совершить работу
Энергия
заряженного проводника равна той работе,
которую необходимо совершить, чтобы
зарядить этот проводник:
Формулу можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным j, из найдем
где- заряд проводника.
Энергия электростатического поля конденсатора. Объемная плотность энергии электростатического поля.
Энергия электростатического поляконденсатора .
Преобразуем формулувыражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C=e0eS/d) и разности потенциалов между его обкладками (Dj=Ed). Тогда
где V= Sd - объем конденсатора. Формула показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, - напряженность Е.
Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)
Электрический ток и условия его возникновения и существования.
Электрический ток - направленное упорядоченное движение частиц - носителей электрического заряда
Для возникновения и поддержания тока в какой-либо среде необходимо выполнение двух условий:
1. наличие в среде свободных электрических зарядов
2. создание в среде электрического поля.
В разных средах носителями электрического тока являются разные заряженные частицы.
Для поддержания тока в электрической цепи на заряды кроме кулоновских сил должны действовать силы неэлектрической природы (сторонние силы).
Для существования электрического тока в замкнутой цепи необходимо включение в нее источника тока.
Сила тока и плотность тока. Единицы измерения.
Сила тока I - скалярная физическая величина, служит количественной мерой электрического тока, равная отношению количества заряда{\displaystyle \Delta Q}, прошедшего через некоторую поверхность за время{\displaystyle \Delta t}, к величине этого промежутка времени
Плотность тока – векторная физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока:
Единицей величины тока является 1 ампер.
Понятие «сторонние силы». Электродвижущая сила и напряжение. Единица измерения.
Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называются сторонними .
Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи: гдеA – работа сторонних сил, q – заряд, над которым производится работа. Единицей измерения ЭДС служит вольт.
Напряжением U называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи. Таким образом Единица измерения Вольт.
Закон Ома в дифференциальной форме для участка цепи.
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. В любом проводнике происходит выделение теплоты, равное работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника. Формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля..
Закон Ома для участка цепи с гальваническим элементом.
Закон Ома для участка цепи с гальваническим элементом. При прохождении электрического тока в замкнутой цепи на свободные заряды действуют силы со стороны стационарного электрического поля и сторонние силы. Участки, на которых ток создается только стационарным электрическим полем, называются однородными. Участки, на которых кроме сил стационарного электрического поля, действуют и сторонние силы называют неоднородным участком цепи.
Напряжение U на участке цепи представляет собой физическую скалярную величину, равную суммарной работе сторонних сил и сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда на этом участке:
В общем случае напряжение на участке цепи равно алгебраической сумме разности потенциалов и ЭДС на этом участке. Если же на участке действуют только электрические силы (ε = 0), то для однородного участка цепи понятия напряжения и разности потенциалов совпадают. Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид: ЭДС ε может быть как положительной, так и отрицательной. Если ЭДС способствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε > 0, в противном случае, если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε < 0.
Правила Кирхгофа для разветвленных цепей.
Расчет разветвленных цепей с помощью закона Ома довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Г. Кирхгофа
Первое правило Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле цепи равна нулю:
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома для разветвленной цепи.Все токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода - отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Формула для второго правила:
Элементарная классическая электронная теория проводимости металлов и ее недостатки. Законы Ома, Джоуля-Ленца и Видемана-Франца.
Элементарная классическая электронная теория проводимости металлов. Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т.е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости металлов. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.
Закон Ома . Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к участку, и обратно пропорциональна характеристике участка, которую называют электрическим сопротивлением этого участка.
Закона Джоуля-Ленца - Температура определяется энергией ионов металла. Электроны при столкновении с ионами отдают энергию, следовательно, температура повышается. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную энергию:
Количество теплоты,выделяемое проводником с током равно произведению квадрата силы тока,сопротивления проводника и времени.
Закон Видемана -Франца. Металлы обладаюткак большой электропроводностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы - свободные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического движения, т. е. осуществляют перенос теплоты.
Недостатки теории:
1.Из опыта , из теории;
2.Квантовая теория сообщает, что электронный газ вообще не имеет теплоемкости.
3.Потенциальность электростатического поля. Скалярный потенциал. Неоднозначность скалярного потенциала и его нормировка. Потенциал точечного заряда, системы точечных зарядов и непрерывного распределения зарядов.
Элементы зонной (квантовой) теории металлов. Свободная, валентная и запрещенная зоны.
Зонная теория - один из основных разделов квантовой теории твердого тела, описывающий движение электронов в кристаллах, и являющийся основой современной теории металлов, полупроводников и диэлектриков. Электрические свойства твердого тела зависят от того, как электроны составляющих его атомов распределяются по орбитальным уровням при его кристаллизации.
Зона проводимости - в зонной теории твёрдого тела первая из незаполненных электронами зон в полупроводниках и диэлектриках. Электроны из валентной зоны, преодолев запрещённую зону, при ненулевой температуре попадают в зону проводимости и начинают участвовать в проводимости, то есть перемещаться под действием электрического поля.
Валентная зона - энергетическая область разрешённых электронных состояний в твёрдом теле, заполненная валентными электронами.
В полупроводниках при T=0 (T - абсолютная температура) валентная зона заполнена электронами целиком, и электроны не дают вклада в электропроводность и другие кинетические эффекты, вызываемые внешними полями. При T>0 К происходит тепловая генерация носителей заряда, в результате которой часть электронов переходит в расположенную выше зону проводимости или на примесные уровни в запрещённой зоне.
Запрещённая зона - область значений энергии, которыми не может обладать электрон в идеальном кристалле.
В полупроводниках запрещённой зоной называют область энергий, отделяющую полностью заполненную электронами валентную зону от незаполненной зоны проводимости. В этом случае шириной запрещённой зоны называется разность энергий между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны.
Зонная структура энергетического спектра электронов в веществе. Заполнение зон.
Все свойства веществ определяются энергетическим спектром электронов атомов данного вещества. Под терминомэнергетический спектр понимают шкалу количественных значений энергии электронов атомов данного вещества.
Физическое состояние электронов в атоме определяется четырьмя квантовыми числами: п, l, m, s. Согласно планетарной модели атома, электроны вращаются вокруг ядра по определенным орбитам - электронным оболочкам, которые принято обозначать К, L, М, Nи т.д. в зависимости от значения главного квантового числа п = 1, 2, 3, ...
Заполнение энергетических зон начинается с нижних энергетических уровней с соблюдением принципа Паули. В каждой энергетической зоне содержится ограниченное количество уровней.
По характеру заполнения зон твердые тела делятся на две группы:
К первой группе относятся тела, у которых над полностью заполненными зонами находится частично заполненная.
Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком заполненными зонами располагаются пустые зоны. По ширине запрещенной зоны тела второй группы условно делят на диэлектрики и полупроводники.
Носители тока как квазичастицы (Бозоны и Фермионы). Функция распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейнаа.
Согласно современной квантовой теории все элементарные и сложные частицы, а также квазичастицы разделяются на два класса - фермионы и бозоны.
К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны и все другие частицы, имеющие полуцелые проекции спина, т.е. L SZ =±(2n+1) /2
Система фермионов описывается распределением Ферми-Дирака : среднее число Фермионов
К бозонам относятся фотоны, некоторые ядра атомов, квазичастицы: фононы, магноны, плазмоны, экситоны. Все они имеют проекцию спина либо равную нулю, либо равную целому числу, т.е. L SZ =±n
Система бозонов описывается распределением Бозе-Эйнштейна : среднее число бозонов áñ, приходящееся на одно квантовое состояние с энергией
Вырожденный электронный газ в металлах. Энергия Ферми. Принцип Паули.
Максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле называется энергией Ферми Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называетсяуровнем Ферми .
Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми - Дирака
Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули , согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».
Квантовая теория теплоемкости. Фононы. Температура Дебая.
Согласно классической формуле теплоемкость твердых тел определяется в соответствии с законом Дюлонга и Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех химически простых кристаллических тел при достаточно высоких температурах одинакова и равна: c µ =3R . при обычных температурах молярная теплоемкость большинства твердых тел близка к значению, даваемому классической теорией и почти не зависит от температуры.
Согласно квантовой теории Эйнштейна, энергия колеблющихся ионов в решетке пропорциональна величине Е=nhν.У различных молекул твердого тела частота может быть различна, поэтому и энергии различны.
Температура Дебая - физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел: теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность,уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Температура Дебая определяется следующей формулой:
Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.
Фонон - квазичастица, представляющая собой квант упругих колебаний среды. Понятие фонон играет важную роль в описании свойств твердого тела: кристаллическая решетка по тепловым свойствам аналогична газу фонон. Квазичастицы представляют собой кванты элементарных возбуждений системы. Подобно обычным частицам, квазичастицы могут быть охарактеризованы энергией, импульсом, спином и т. д.
Квантовая теория электропроводности металлов.
Квантовая теория электропроводности металлов – теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике н квантовой статистике Ферми-Дирака. Она пересмотрела расчет электропроводности металлов, который привел к выражению для удельной электрической проводимости металла
Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка ведет себя подобно оптически однородной среде – она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току – упорядоченному движению электронов – никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.
Явление сверхпроводимости. Куперовская пара. Эффект Джозефеона.
Сверхпроводимость - физическое явление, заключающиеся в скачкообразном падении до нуля сопротивления вещества. Сверхпроводимость исчезает под влиянием следующих факторов:повышение температуры, действие достаточно сильного магнитного поля, достаточно больше плотность тока в образце. Переход от сверхпроводящего состояния до нормального путем повышения магнитного поля при температуре ниже критической.
Ку́перовская па́ра - связанное состояние двух взаимодействующих через фонон электронов. Обладает нулевым спином и зарядом, равным удвоенному заряду электрона. Чтобы куперовскую пару разрушить,надо затратить некоторую энергию, которая пойдет на преодоление сил притяжения электронов пары.
Эффект Джозефсона - явление протекания сверхпроводящего тока через тонкий слой диэлектрика, разделяющий два сверхпроводника. Такой ток называют джозефсоновским током, а такое соединение сверхпроводников - джозефсоновским контактом.
Собственная проводимость полупроводников.
Собственная проводимость возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока - электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны; одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест на верхних уровнях, в результате чего появляются дырки. Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости описывается функцией Ферми - Дирака. Собственная проводимость проводников зависит от температуры по закону. Примеси вносят изменения в электропроводность полупроводников.
Приместная проводимость полупроводников.
Примесная проводимость полупроводников - электрическая проводимость, обусловленная наличием в полупроводнике донорных или акцепторных примесей. Примесная проводимость, как правило, намного превышает собственную, и поэтому электрические свойства полупроводников определяются типом и количеством введенных в него легирующих примесей. Примесными центрами могут быть:
Атомы или ионы химических элементов, внедренные в решетку полупроводника;
Избыточные атомы или ионы, внедренные в междоузлия решетки;
Различного рода другие дефекты и искажения в кристаллической решетке: пустые узлы, трещины, сдвиги, возникающие при деформациях кристаллов, и др.
Если в полупроводник одновременно вводятся и донорные и акцепторные примеси, то характер проводимости определяется примесью с более высокой концентрацией носителей тока - электронов или дырок.
Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Единица измерения магнитной индукции. Линии магнитной индукции. Правило правового винта.
Магнитное поле -это особая форма, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися электрически заряженными частицами.
Вектор магнитной индукции [Тл]: это силовая характеристика магнитного поля. Направление векторно магнитной индукции - это направление от южного полюса к северному полюсу магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле
Магнитная индукция измеряется в Теслах – Тл(кг·с−2·А−1).
Линии магнитной индукции - линии, касательные к которым направлены направлены также как и вектор магнитной индукции в данной точке поля.
Пра́вило бура́вчика (правило правой руки) :Если большой палец правой руки расположить по направлению тока, то направлениеобхвата проводника четырьмя пальцами покажет направление линий магнитной индукции.
Напряженность магнитного поля и ее связь с вектором магнитной индукции. Единица напряженности магнитного поля. Магнитная проницаемость среды.
Напряжённость магнитного поля - векторная физическая величина, являющаяся количественной характеристикой магнитного поля напряжённость магнитного поля не зависит от магнитных свойств среды.Единицей напряжённость магнитного поля в СИ является ампер на метр.
Связь с вектором магнитной индукции: напряжённость магни́тного по́ля равна разности векторамагнитной индукцииB ивектора намагниченностиM. Обычно, обозначается символом Н.
Магнитная проницаемость - физическая величина, характеризующая связь между магнитной индукцией B и напряжённостью магнитного поля в веществе. В общем случае зависит как от свойств вещества, так и от величины и направления магнитного поля. В общем виде вводится следующим образом:. магнитная проницаемость - безразмерная величина, в системе СИ вводят как размерную так и безразмерную магнитные проницаемости:.
Закон Ампера. Правило левой руки.
Сила Ампера : это сила, действующая на проводник с током, помещенный в магнитное поле
Закон Ампера : сила Ампера равна произведению модуля вектора магнитной индукции на силу тока, длину участка проводника Δl и на синус угла α между магнитной индукцией и участком проводника: . F=B . I . ℓ . sin α - закон Ампера .
Правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы вектор магнитной индукции входил в руку, то есть был направлен на неё, а пальцы вытянуты вдоль направления движения тока, то большой палец покажет направление силы Ампера, действующей на отрезок проводника.
Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей.
Закон Био́ - Савáра - Лапла́са - физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током.
При прохождении постоянного тока по замкнутому контуру, находящемуся в вакууме, для точки, отстоящей на расстоянии r0, от контура магнитная индукция будет иметь вид:Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула
Магнитное иоле прямолинейною проводника с током.
Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему
концентрических окружностей, охватывающих ток. Направление силовых линий магнитного поля прямолинейного проводника определяется по правилу буравчика:
Магнитное поле кругового тока.
Магнитное поле кругового тока - Создается током текущему по тонкому круглому проводу
формула для магнитного поля кругового тока
Магнитное поле движущегося заряда.
Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов, поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. Закон, определяющий магнитное поле точеного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью υ, выражается формулой
В векторной форме Модуль магнитной индукции
Для отрицательного заряда направление магнитной индукции поменяется на противоположное
Магнитное поле движущегося заряда
Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда Q , свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v.Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой
где r - радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М (рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и г, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к г.
Действие внешнего магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца.
Движущиеся электрические заряды создают вокруг себя магнитное поле, которое распространяется в вакууме со скоростью света, При движении заряда во внешнем магнитном поле возникает силовое взаимодействие магнитных полей, определяемое по закону Ампера. По проводнику dl за промежуток времени dt проходит nодинаковых зарядов величиной dq, т.е. через проводник протекает ток, сила которогоСила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд, равна-Сила Лоренца.
Эффект Холла.
Эффе́кт Хо́лла - явление возникновения поперечной разности потенциалов при помещении проводника с постоянным током в магнитное поле. Открыт Эдвином Холлом в 1879 году в тонких пластинках золота.
Эффект Холла позволяет определить концентрацию и подвижность носителей заряда, а в некоторых случаях − тип носителей заряда в металле или полупроводнике, что делает его достаточно хорошим методом исследования свойств полупроводников
Силы взаимодействия электрических зарядов консервативны, следовательно, система электрических зарядов обладает потенциальной энергией.
Пусть даны два точечных неподвижных заряда q 1 и q 2 , находящиеся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов в поле другого заряда обладает потенциальной энергией
; , (4.1)
где j 1,2 и j 2,1 – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом q 2 в точке нахождения заряда q 1 и зарядом q 1 в точке нахождения заряда q 2 .
, а . (4.3)
Следовательно,
. (4.4)
Для того чтобы в уравнение энергии системы оба заряда входили симметрично, выражение (4.4) можно записать в виде
. (4.5)
Добавляя к системе зарядов последовательно заряды q 3 , q 4 и т.д., можно убедиться, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы
, (4.6)
где j i – потенциал создаваемый в точке нахождения q i всеми зарядами, кроме i - го.
При непрерывном распределении зарядов в элементарном объеме dV находится заряд dq = r×dV. Для определения энергии взаимодействия заряда dq можно применить формулу (4.6), перейдя в ней от суммы к интегралу:
, (4.7)
где j – потенциал в точке элемента объема dV.
Надо отметить, что между формулами (4.6) и (4.7) существует принципиальное различие. Формула (4.6) учитывает только энергию взаимодействия между точечными зарядами, но не учитывает энергии взаимодействия элементов заряда каждого из точечных зарядов между собой (собственную энергию точечного заряда). Формула (4.7) учитывает как энергию взаимодействия между точечными зарядами, так и собственную энергию этих зарядов. При расчете энергии взаимодействия точечных зарядов она сводится к интегралам по объему V i точечных зарядов:
, (4.8)
где j i - потенциал в любой точке объема i-го точечного заряда;
j i = j i ¢ + j i с, (4.9)
где j i ¢ - потенциал, созданный другими точечными зарядами в этой же точке;
j i с – потенциал, созданный частями i-го точечного заряда в данной точке.
Так как точечные заряды можно представить сферически симметричными, то
(4.10)
где W ¢ определяется по формуле (4.6).
Значение собственной энергии зарядов зависит от законов распределения зарядов и от величины зарядов. Например, при равномерном сферическом распределении зарядов с поверхностной плотностью s
.
Следовательно,
. (4.11)
Из формулы (4.11) видно, что при R®0 величина W с ®¥. Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности. Это приводит к серьезным недостаткам понятия "точечный заряд".
Таким образом, формулу (4.6) можно применять для анализа взаимодействия точечных зарядов, поскольку она не содержит их собственной энергии. Формула (4.7) для непрерывного распределения заряда учитывает всю энергию взаимодействия, поэтому является более общей.
При наличии поверхностных зарядов вид формулы (4.7) несколько изменяется. Подынтегральное выражение этой формулы равно и имеет смысл потенциальной энергии, которой обладает элемент заряда dq, находясь в точке с потенциалом j. Эта потенциальная энергия не зависит от того, является ли dq элементом объемного или поверхностного заряда. Поэтому для поверхностного распределения dq = s×dS. Следовательно, для энергии поля поверхностных зарядов
Потенциальная энергия взаимодействия системы точечных зарядов и полная электростатическая энергия системы зарядов
Анимация
Описание
Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся в вакууме на расстоянии r 12 друг от друга можно вычислить по:
(1)
Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов: q 1 , q 2 ,..., q n .
Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно:
. (2)
В формуле 2 суммирование производится по индексам i и k (i № k ). Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, значения от 0 до N . Слагаемые, для которых значение индекса i совпадает со значением индекса k не учитываются. Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды. Формулу (2) можно представить в виде:
, (3)
где j i - потенциал в точке нахождения i -го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:
.
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, вычисляемая по формуле (3), может быть как положительной, так и отрицательной. Например она отрицательная для двух точечных зарядов противоположного знака.
Формула (3) определяет не полную электростатическую энергию системы точечных зарядов, а только их взаимную потенциальную энергию. Каждый заряд q i , взятый в отдельности обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия не учитывается в формуле (3). Учитывается только работа затрачиваемая на сближение зарядов q i , но не на их образование.
Полная электростатическая энергия системы точечных зарядов учитывает также работу, на образование зарядов q i из бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. Полная электростатическая энергия системы зарядов всегда положительная. Это легко показать на примере заряженного проводника. Рассматривая заряженный проводник как систему точечных зарядов и учитывая одинаковое значение потенциала в любой точке проводника, из формулы (3) получим:
Эта формула дает полную энергию заряженного проводника, которая всегда положительна (при q>0 , j >0 , следовательно W>0 , если q<0 , то j <0 , но W>0 ).
Временные характеристики
Время инициации (log to от -10 до 3);
Время существования (log tc от -10 до 15);
Время деградации (log td от -10 до 3);
Время оптимального проявления (log tk от -7 до 2).
Диаграмма:
Технические реализации эффекта
Техническая реализация эффекта
Для наблюдения энергии взаимодействия системы зарядов достаточно подвесить на ниточках на расстоянии порядка 5 см друг от друга два легких проводящих шарика и зарядить их от расчески. Они отклонятся, то есть повысят свою потенциальную энергию в поле земного тяготения, что и делается за счет энергии их электростатического взаимодействия.
Применение эффекта
Эффект настолько фундаментален, что без преувеличения можно считать, что он применяется кв любой электротехнической и радиоэлектронной аппаратуре, использующий зарядовые накопители, то есть конденсаторы.
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики.- М.: Наука, 1988.- Т.2.- С.24-25.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики.- М.: Наука, 1977.- Т.3. Электричество.- С.117-118.
Ключевые слова
Разделы естественных наук:
sampfuncs.ru - В женской косметичке. Портал для любимых дам